Страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.19. Найдите площадь поверхности детали в форме правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 1 и 2, а боковые ребра равны 1 (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Площадь полной поверхности детали $S_{полн}$ складывается из площади нижнего основания $S_{нижн}$, площади верхнего основания $S_{верхн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. Деталь имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды, что означает, что ее основания — квадраты, а боковые грани — четыре одинаковые равнобедренные трапеции.

1. Вычисление площадей оснований.

Нижнее основание — это квадрат со стороной $a = 2$. Его площадь равна:
$S_{нижн} = a^2 = 2^2 = 4$.
Верхнее основание — это квадрат со стороной $b = 1$. Его площадь равна:
$S_{верхн} = b^2 = 1^2 = 1$.

2. Вычисление площади боковой поверхности.

Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных трапеций. Рассмотрим одну из них.
Основания этой трапеции равны сторонам оснований пирамиды, то есть $2$ и $1$.
Боковые стороны трапеции являются боковыми ребрами пирамиды, и их длина по условию равна $1$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{трап} = \frac{p+q}{2} \cdot h$, где $p$ и $q$ — основания, а $h$ — высота трапеции (называемая апофемой усеченной пирамиды).
Чтобы найти высоту $h$, проведем в трапеции высоту из вершины меньшего основания к большему. В образовавшемся прямоугольном треугольнике гипотенузой будет боковое ребро ($l=1$), а одним из катетов — отрезок, равный полуразности оснований трапеции.
Длина этого катета: $\frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$.
Второй катет — это искомая высота $h$. По теореме Пифагора:
$h^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1^2$
$h^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$h = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь найдем площадь одной боковой грани (трапеции):
$S_{трап} = \frac{2+1}{2} \cdot h = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.
Площадь всей боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех таких трапеций:
$S_{бок} = 4 \cdot S_{трап} = 4 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$.

3. Вычисление полной площади поверхности.

Сложим площади оснований и боковой поверхности, чтобы найти общую площадь поверхности детали:
$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок} = 4 + 1 + 3\sqrt{3} = 5 + 3\sqrt{3}$.

Ответ: $5 + 3\sqrt{3}$.

2.20 Найдите длину кратчайшего пути по поверхности правильной пирамиды SABC (рис. 2.15), соединяющего середины ребер $AB$ и $SC$.

Рис. 2.15

Для нахождения кратчайшего пути по поверхности многогранника необходимо использовать его развертку. Кратчайшим путем между двумя точками на поверхности будет являться отрезок прямой, соединяющий эти точки на развертке.Пусть $D$ – середина ребра $AB$, а $E$ – середина ребра $SC$ правильной пирамиды $SABC$.Обозначим длину ребра основания $ABC$ как $a$, а длину бокового ребра (например, $SA$) как $l$. Таким образом, $AB = BC = CA = a$ и $SA = SB = SC = l$.Поскольку пирамида правильная, ее основание $ABC$ – равносторонний треугольник, а боковые грани $SAB$, $SBC$, $SCA$ – равные равнобедренные треугольники.

Существует несколько возможных маршрутов для кратчайшего пути, которые пересекают разные ребра. Рассмотрим два основных варианта:

1. Путь пересекает боковое ребро (например, $SB$ или $SA$).
2. Путь пересекает ребро основания (например, $BC$ или $AC$).

Длины путей, пересекающих ребра $SB$ и $SA$, будут одинаковы из соображений симметрии. Аналогично, пути через ребра $BC$ и $AC$ также будут иметь равные длины. Поэтому достаточно рассмотреть по одному случаю из каждого варианта.

1. Путь, пересекающий боковое ребро SB

Для нахождения длины этого пути, развернем боковые грани $SAB$ и $SBC$ так, чтобы они лежали в одной плоскости, совместив их по общему ребру $SB$. Получим плоскую фигуру, состоящую из двух равных треугольников $SAB$ и $SBC$. Кратчайший путь на поверхности в этом случае – это длина отрезка $DE$ на этой развертке.

Введем систему координат на плоскости развертки. Поместим вершину $S$ в начало координат $(0,0)$, а вершину $B$ на ось $Ox$, тогда $B=(l,0)$.Пусть $\alpha = \angle{ASB} = \angle{BSC}$ – угол при вершине боковой грани.Тогда координаты вершин $A$ и $C$ будут:$A = (l \cos \alpha, l \sin \alpha)$$C = (l \cos \alpha, -l \sin \alpha)$Точка $D$ – середина $AB$. Ее координаты:$D = \left(\frac{l \cos \alpha + l}{2}, \frac{l \sin \alpha + 0}{2}\right) = \left(\frac{l(1+\cos \alpha)}{2}, \frac{l \sin \alpha}{2}\right)$Точка $E$ – середина $SC$. Ее координаты:$E = \left(\frac{0 + l \cos \alpha}{2}, \frac{0 - l \sin \alpha}{2}\right) = \left(\frac{l \cos \alpha}{2}, -\frac{l \sin \alpha}{2}\right)$

Теперь найдем квадрат расстояния $d_1^2$ между точками $D$ и $E$:$d_1^2 = \left(\frac{l(1+\cos \alpha)}{2} - \frac{l \cos \alpha}{2}\right)^2 + \left(\frac{l \sin \alpha}{2} - \left(-\frac{l \sin \alpha}{2}\right)\right)^2$$d_1^2 = \left(\frac{l+l\cos \alpha - l \cos \alpha}{2}\right)^2 + \left(\frac{2l \sin \alpha}{2}\right)^2$$d_1^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + (l \sin \alpha)^2 = \frac{l^2}{4} + l^2 \sin^2 \alpha$

Выразим $\sin^2\alpha$ через $a$ и $l$. Из теоремы косинусов для треугольника $SAB$:$a^2 = l^2 + l^2 - 2l^2 \cos\alpha = 2l^2(1-\cos\alpha)$, откуда $\cos\alpha = \frac{2l^2-a^2}{2l^2}$.Тогда $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2l^2-a^2}{2l^2}\right)^2 = \frac{4l^4 - (4l^4-4a^2l^2+a^4)}{4l^4} = \frac{4a^2l^2-a^4}{4l^4} = \frac{a^2(4l^2-a^2)}{4l^4}$.Подставим это в выражение для $d_1^2$:$d_1^2 = \frac{l^2}{4} + l^2 \cdot \frac{a^2(4l^2-a^2)}{4l^4} = \frac{l^2}{4} + \frac{a^2(4l^2-a^2)}{4l^2} = \frac{l^4 + 4a^2l^2 - a^4}{4l^2}$.

2. Путь, пересекающий ребро основания BC

Развернем грань $SBC$ так, чтобы она лежала в одной плоскости с основанием $ABC$, совместив их по ребру $BC$. Кратчайший путь $d_2$ будет равен длине отрезка $DE$ на этой развертке.

Введем систему координат с началом в точке $M$ – середине ребра $BC$. Пусть ось $Mx$ проходит вдоль прямой $BC$. Тогда $B=(-a/2, 0)$, $C=(a/2, 0)$.Основание $ABC$ – равносторонний треугольник, его высота равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Координаты вершины $A$: $A=(0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$.Точка $D$ – середина $AB$. Ее координаты:$D = \left(\frac{-a/2+0}{2}, \frac{0+a\sqrt{3}/2}{2}\right) = \left(-\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$.Грань $SBC$ – равнобедренный треугольник. Его высота $SM$ равна $h_{бок} = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4l^2-a^2}$.На развертке точка $S$ будет иметь координаты $S = (0, -h_{бок}) = \left(0, -\frac{1}{2}\sqrt{4l^2-a^2}\right)$.Точка $E$ – середина $SC$. Ее координаты:$E = \left(\frac{0+a/2}{2}, \frac{-h_{бок}+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, -\frac{h_{бок}}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, -\frac{1}{4}\sqrt{4l^2-a^2}\right)$.

Найдем квадрат расстояния $d_2^2$ между $D$ и $E$:$d_2^2 = \left(\frac{a}{4} - \left(-\frac{a}{4}\right)\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\sqrt{4l^2-a^2} - \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2$$d_2^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \frac{1}{16}\left(\sqrt{4l^2-a^2} + a\sqrt{3}\right)^2$$d_2^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{1}{16}(4l^2-a^2 + 2a\sqrt{3}\sqrt{4l^2-a^2} + 3a^2)$$d_2^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{4l^2+2a^2+2a\sqrt{3(4l^2-a^2)}}{16}$$d_2^2 = \frac{4a^2+4l^2+2a^2+2a\sqrt{3(4l^2-a^2)}}{16} = \frac{4l^2+6a^2+2a\sqrt{3(4l^2-a^2)}}{16}$$d_2^2 = \frac{2l^2+3a^2+a\sqrt{3(4l^2-a^2)}}{8}$Проверим вычисления другим способом:$d_2^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{\sqrt{4l^2-a^2}}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{4l^2-a^2}{16} + \frac{2a\sqrt{3}\sqrt{4l^2-a^2}}{16} + \frac{3a^2}{16}$$d_2^2 = \frac{4a^2 + 4l^2 - a^2 + 3a^2}{16} + \frac{a\sqrt{3}\sqrt{4l^2-a^2}}{8} = \frac{4l^2+6a^2}{16} + \frac{a\sqrt{3}\sqrt{4l^2-a^2}}{8}$$d_2^2 = \frac{2l^2+3a^2}{8} + \frac{a\sqrt{3(4l^2-a^2)}}{8}$.Кажется, в предыдущей формуле был лишний множитель 2.$d_2^2 = \frac{l^2}{4} + \frac{3a^2}{8} + \frac{a\sqrt{3}\sqrt{4l^2-a^2}}{8}$.

Длина кратчайшего пути по поверхности – это наименьшее из найденных значений.

Ответ: Длина кратчайшего пути $d$ равна $\min(d_1, d_2)$, где:$d_1 = \sqrt{\frac{l^4 + 4a^2l^2 - a^4}{4l^2}}$ (путь через боковое ребро),$d_2 = \sqrt{\frac{l^2}{4} + \frac{3a^2}{8} + \frac{a\sqrt{3(4l^2-a^2)}}{8}}$ (путь через ребро основания).Здесь $a$ – длина стороны основания, $l$ – длина бокового ребра.В частном случае, для правильного тетраэдра, где $l=a$, оба пути равны $a$.

2.21. На рисунке 2.16 изображен бункер, поверхность основной части которого представляет боковую поверхность правильной четырехугольной усеченной пирамиды. По размерам, указанным на рисунке (в см), вычислите, сколько квадратных дециметров листового железа нужно для изготовления бункера (не считая рукавов А и В).

Рис. 2.16

Для того чтобы найти, сколько квадратных дециметров листового железа нужно для изготовления бункера, необходимо вычислить площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Согласно рисунку, заданы следующие размеры: сторона верхнего основания $a = 275$ см, сторона нижнего основания $b = 125$ см, и высота пирамиды $H = 200$ см.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) правильной усеченной пирамиды вычисляется как сумма площадей четырех одинаковых боковых граней, которые являются равнобокими трапециями. Формула площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2(a+b)h_a$, где $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Для вычисления площади сначала найдем апофему $h_a$. Апофему можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и отрезок, равный полуразности сторон оснований.
Длина этого отрезка (проекции апофемы на плоскость, параллельную основанию) равна: $\frac{a-b}{2} = \frac{275-125}{2} = \frac{150}{2} = 75$ см.
Тогда апофема равна:
$h_a = \sqrt{H^2 + (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{200^2 + 75^2} = \sqrt{40000 + 5625} = \sqrt{45625}$ см.
Упрощая корень, получаем: $h_a = \sqrt{625 \cdot 73} = 25\sqrt{73}$ см.

Теперь подставим все значения в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(275+125) \cdot 25\sqrt{73} = 2 \cdot 400 \cdot 25\sqrt{73} = 20000\sqrt{73}$ см$^2$.
Поскольку ответ требуется в квадратных дециметрах, выполним перевод единиц измерения ($1$ дм$^2 = 100$ см$^2$):
$S_{бок} = \frac{20000\sqrt{73}}{100} = 200\sqrt{73}$ дм$^2$.

Ответ: $200\sqrt{73}$ дм$^2$ (или приблизительно $1708.8$ дм$^2$).

2.22 Проверьте, что для числа вершин (В), ребер (Р) и граней (Г):

а) параллелепипеда;

б) призмы;

в) пирамиды выполняется равенство

$B - P + \Gamma = 27$

а) Проверим равенство для параллелепипеда. Параллелепипед — это многогранник, у которого 6 граней, и все они — параллелограммы. У него число вершин $В = 8$, число ребер $Р = 12$ и число граней $Г = 6$. Подставим эти значения в левую часть равенства $В - Р + Г$:
$8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$.
Поскольку левая часть равна 2, равенство $В - Р + Г = 2$ выполняется.
Ответ: для параллелепипеда равенство выполняется.

б) Проверим равенство для произвольной n-угольной призмы ($n$ — число сторон многоугольника в основании, $n \ge 3$).
Число вершин у такой призмы $В = 2n$ (по $n$ вершин в каждом из двух оснований).
Число ребер $Р = 3n$ (по $n$ ребер в каждом основании и $n$ боковых ребер).
Число граней $Г = n + 2$ (2 основания и $n$ боковых граней).
Подставим эти выражения в формулу:
$В - Р + Г = 2n - 3n + (n + 2) = (2n - 3n + n) + 2 = 0 + 2 = 2$.
Равенство выполняется для любой призмы.
Ответ: для призмы равенство выполняется.

в) Проверим равенство для произвольной n-угольной пирамиды ($n$ — число сторон многоугольника в основании, $n \ge 3$).
Число вершин у пирамиды $В = n + 1$ ($n$ вершин в основании и одна вершина — апекс).
Число ребер $Р = 2n$ ($n$ ребер в основании и $n$ ребер, соединяющих вершины основания с апексом).
Число граней $Г = n + 1$ (одно основание и $n$ боковых треугольных граней).
Подставим эти выражения в формулу:
$В - Р + Г = (n + 1) - 2n + (n + 1) = (n - 2n + n) + (1 + 1) = 0 + 2 = 2$.
Равенство выполняется для любой пирамиды.
Ответ: для пирамиды равенство выполняется.