Номер 2.22, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.22 Проверьте, что для числа вершин (В), ребер (Р) и граней (Г):

а) параллелепипеда;

б) призмы;

в) пирамиды выполняется равенство

$B - P + \Gamma = 27$

а) Проверим равенство для параллелепипеда. Параллелепипед — это многогранник, у которого 6 граней, и все они — параллелограммы. У него число вершин $В = 8$, число ребер $Р = 12$ и число граней $Г = 6$. Подставим эти значения в левую часть равенства $В - Р + Г$:
$8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$.
Поскольку левая часть равна 2, равенство $В - Р + Г = 2$ выполняется.
Ответ: для параллелепипеда равенство выполняется.

б) Проверим равенство для произвольной n-угольной призмы ($n$ — число сторон многоугольника в основании, $n \ge 3$).
Число вершин у такой призмы $В = 2n$ (по $n$ вершин в каждом из двух оснований).
Число ребер $Р = 3n$ (по $n$ ребер в каждом основании и $n$ боковых ребер).
Число граней $Г = n + 2$ (2 основания и $n$ боковых граней).
Подставим эти выражения в формулу:
$В - Р + Г = 2n - 3n + (n + 2) = (2n - 3n + n) + 2 = 0 + 2 = 2$.
Равенство выполняется для любой призмы.
Ответ: для призмы равенство выполняется.

в) Проверим равенство для произвольной n-угольной пирамиды ($n$ — число сторон многоугольника в основании, $n \ge 3$).
Число вершин у пирамиды $В = n + 1$ ($n$ вершин в основании и одна вершина — апекс).
Число ребер $Р = 2n$ ($n$ ребер в основании и $n$ ребер, соединяющих вершины основания с апексом).
Число граней $Г = n + 1$ (одно основание и $n$ боковых треугольных граней).
Подставим эти выражения в формулу:
$В - Р + Г = (n + 1) - 2n + (n + 1) = (n - 2n + n) + (1 + 1) = 0 + 2 = 2$.
Равенство выполняется для любой пирамиды.
Ответ: для пирамиды равенство выполняется.