Вопросы, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Чему равно число вершин, ребер и граней: а) $n$-угольной призмы; б) $n$-угольной пирамиды?

2. Сформулируйте теорему Эйлера.

3. Когда она была доказана?

4. Что изучает топология?

1. а) n-угольной призмы. У n-угольной призмы два основания, каждое из которых — n-угольник. Вершины (В): Каждое из двух оснований имеет $n$ вершин, поэтому общее число вершин: $В = 2n$. Ребра (Р): Каждое основание имеет $n$ ребер, и еще $n$ боковых ребер соединяют основания. Общее число ребер: $Р = n + n + n = 3n$. Грани (Г): Призма имеет два основания и $n$ боковых граней. Общее число граней: $Г = n+2$. Ответ: В $n$-угольной призме $2n$ вершин, $3n$ ребер и $n+2$ граней.

б) n-угольной пирамиды. У n-угольной пирамиды одно n-угольное основание и вершина (апекс), в которой сходятся боковые ребра. Вершины (В): $n$ вершин в основании плюс одна вершина-апекс, итого: $В = n+1$. Ребра (Р): $n$ ребер в основании плюс $n$ боковых ребер, идущих к апексу, итого: $Р = n+n = 2n$. Грани (Г): Одно основание плюс $n$ треугольных боковых граней, итого: $Г = n+1$. Ответ: В $n$-угольной пирамиде $n+1$ вершина, $2n$ ребер и $n+1$ грань.

2. Теорема Эйлера для многогранников устанавливает фундаментальное соотношение между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника. Она утверждает, что для любого такого многогранника сумма числа вершин и числа граней на два больше числа его ребер. Математически это выражается формулой: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — это число вершин, $Р$ — число рёбер, а $Г$ — число граней. Это соотношение не зависит от формы или размера многогранника, а только от его топологической структуры (того, что он гомеоморфен сфере). Ответ: Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение $В - Р + Г = 2$, где $В$ — количество вершин, $Р$ — количество рёбер, а $Г$ — количество граней.

3. Теорема была впервые сформулирована и опубликована выдающимся математиком Леонардом Эйлером в 1758 году в его работе «Elementa doctrinae solidorum». Однако доказательство, предложенное Эйлером, содержало пробелы и не было полностью строгим с точки зрения современной математики. Первое полное и строгое доказательство теоремы было дано французским математиком Адриеном-Мари Лежандром в 1794 году, который использовал для этого методы сферической геометрии. Ответ: Теорема была сформулирована Леонардом Эйлером в 1758 году, а первое строгое доказательство было предоставлено Адриеном-Мари Лежандром в 1794 году.

4. Топология — это важный раздел математики, который изучает те свойства геометрических объектов (называемых топологическими пространствами), которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Такие деформации можно представить как растяжение, скручивание или изгибание объекта без его разрывов или склеивания отдельных частей. Из-за этого топологию часто в популярной литературе называют «геометрией на резиновом листе». Основные свойства, которые изучает топология, — это непрерывность, связность (состоит ли объект из одного куска), компактность и наличие «дыр». Классический пример, иллюстрирующий суть топологии, заключается в том, что кофейная чашка с ручкой с топологической точки зрения эквивалентна (гомеоморфна) бублику (тору), так как оба объекта имеют одно отверстие и один можно непрерывно преобразовать в другой. Ответ: Топология изучает свойства пространств и фигур, которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких как растяжение и изгибание, но без разрывов и склеиваний.