Номер 2.21, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.21. На рисунке 2.16 изображен бункер, поверхность основной части которого представляет боковую поверхность правильной четырехугольной усеченной пирамиды. По размерам, указанным на рисунке (в см), вычислите, сколько квадратных дециметров листового железа нужно для изготовления бункера (не считая рукавов А и В).

Рис. 2.16

Для того чтобы найти, сколько квадратных дециметров листового железа нужно для изготовления бункера, необходимо вычислить площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Согласно рисунку, заданы следующие размеры: сторона верхнего основания $a = 275$ см, сторона нижнего основания $b = 125$ см, и высота пирамиды $H = 200$ см.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) правильной усеченной пирамиды вычисляется как сумма площадей четырех одинаковых боковых граней, которые являются равнобокими трапециями. Формула площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2(a+b)h_a$, где $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Для вычисления площади сначала найдем апофему $h_a$. Апофему можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и отрезок, равный полуразности сторон оснований.
Длина этого отрезка (проекции апофемы на плоскость, параллельную основанию) равна: $\frac{a-b}{2} = \frac{275-125}{2} = \frac{150}{2} = 75$ см.
Тогда апофема равна:
$h_a = \sqrt{H^2 + (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{200^2 + 75^2} = \sqrt{40000 + 5625} = \sqrt{45625}$ см.
Упрощая корень, получаем: $h_a = \sqrt{625 \cdot 73} = 25\sqrt{73}$ см.

Теперь подставим все значения в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(275+125) \cdot 25\sqrt{73} = 2 \cdot 400 \cdot 25\sqrt{73} = 20000\sqrt{73}$ см$^2$.
Поскольку ответ требуется в квадратных дециметрах, выполним перевод единиц измерения ($1$ дм$^2 = 100$ см$^2$):
$S_{бок} = \frac{20000\sqrt{73}}{100} = 200\sqrt{73}$ дм$^2$.

Ответ: $200\sqrt{73}$ дм$^2$ (или приблизительно $1708.8$ дм$^2$).