Номер 2.20, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.20 Найдите длину кратчайшего пути по поверхности правильной пирамиды SABC (рис. 2.15), соединяющего середины ребер $AB$ и $SC$.

Рис. 2.15

Для нахождения кратчайшего пути по поверхности многогранника необходимо использовать его развертку. Кратчайшим путем между двумя точками на поверхности будет являться отрезок прямой, соединяющий эти точки на развертке.Пусть $D$ – середина ребра $AB$, а $E$ – середина ребра $SC$ правильной пирамиды $SABC$.Обозначим длину ребра основания $ABC$ как $a$, а длину бокового ребра (например, $SA$) как $l$. Таким образом, $AB = BC = CA = a$ и $SA = SB = SC = l$.Поскольку пирамида правильная, ее основание $ABC$ – равносторонний треугольник, а боковые грани $SAB$, $SBC$, $SCA$ – равные равнобедренные треугольники.

Существует несколько возможных маршрутов для кратчайшего пути, которые пересекают разные ребра. Рассмотрим два основных варианта:

1. Путь пересекает боковое ребро (например, $SB$ или $SA$).
2. Путь пересекает ребро основания (например, $BC$ или $AC$).

Длины путей, пересекающих ребра $SB$ и $SA$, будут одинаковы из соображений симметрии. Аналогично, пути через ребра $BC$ и $AC$ также будут иметь равные длины. Поэтому достаточно рассмотреть по одному случаю из каждого варианта.

1. Путь, пересекающий боковое ребро SB

Для нахождения длины этого пути, развернем боковые грани $SAB$ и $SBC$ так, чтобы они лежали в одной плоскости, совместив их по общему ребру $SB$. Получим плоскую фигуру, состоящую из двух равных треугольников $SAB$ и $SBC$. Кратчайший путь на поверхности в этом случае – это длина отрезка $DE$ на этой развертке.

Введем систему координат на плоскости развертки. Поместим вершину $S$ в начало координат $(0,0)$, а вершину $B$ на ось $Ox$, тогда $B=(l,0)$.Пусть $\alpha = \angle{ASB} = \angle{BSC}$ – угол при вершине боковой грани.Тогда координаты вершин $A$ и $C$ будут:$A = (l \cos \alpha, l \sin \alpha)$$C = (l \cos \alpha, -l \sin \alpha)$Точка $D$ – середина $AB$. Ее координаты:$D = \left(\frac{l \cos \alpha + l}{2}, \frac{l \sin \alpha + 0}{2}\right) = \left(\frac{l(1+\cos \alpha)}{2}, \frac{l \sin \alpha}{2}\right)$Точка $E$ – середина $SC$. Ее координаты:$E = \left(\frac{0 + l \cos \alpha}{2}, \frac{0 - l \sin \alpha}{2}\right) = \left(\frac{l \cos \alpha}{2}, -\frac{l \sin \alpha}{2}\right)$

Теперь найдем квадрат расстояния $d_1^2$ между точками $D$ и $E$:$d_1^2 = \left(\frac{l(1+\cos \alpha)}{2} - \frac{l \cos \alpha}{2}\right)^2 + \left(\frac{l \sin \alpha}{2} - \left(-\frac{l \sin \alpha}{2}\right)\right)^2$$d_1^2 = \left(\frac{l+l\cos \alpha - l \cos \alpha}{2}\right)^2 + \left(\frac{2l \sin \alpha}{2}\right)^2$$d_1^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + (l \sin \alpha)^2 = \frac{l^2}{4} + l^2 \sin^2 \alpha$

Выразим $\sin^2\alpha$ через $a$ и $l$. Из теоремы косинусов для треугольника $SAB$:$a^2 = l^2 + l^2 - 2l^2 \cos\alpha = 2l^2(1-\cos\alpha)$, откуда $\cos\alpha = \frac{2l^2-a^2}{2l^2}$.Тогда $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2l^2-a^2}{2l^2}\right)^2 = \frac{4l^4 - (4l^4-4a^2l^2+a^4)}{4l^4} = \frac{4a^2l^2-a^4}{4l^4} = \frac{a^2(4l^2-a^2)}{4l^4}$.Подставим это в выражение для $d_1^2$:$d_1^2 = \frac{l^2}{4} + l^2 \cdot \frac{a^2(4l^2-a^2)}{4l^4} = \frac{l^2}{4} + \frac{a^2(4l^2-a^2)}{4l^2} = \frac{l^4 + 4a^2l^2 - a^4}{4l^2}$.

2. Путь, пересекающий ребро основания BC

Развернем грань $SBC$ так, чтобы она лежала в одной плоскости с основанием $ABC$, совместив их по ребру $BC$. Кратчайший путь $d_2$ будет равен длине отрезка $DE$ на этой развертке.

Введем систему координат с началом в точке $M$ – середине ребра $BC$. Пусть ось $Mx$ проходит вдоль прямой $BC$. Тогда $B=(-a/2, 0)$, $C=(a/2, 0)$.Основание $ABC$ – равносторонний треугольник, его высота равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Координаты вершины $A$: $A=(0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$.Точка $D$ – середина $AB$. Ее координаты:$D = \left(\frac{-a/2+0}{2}, \frac{0+a\sqrt{3}/2}{2}\right) = \left(-\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$.Грань $SBC$ – равнобедренный треугольник. Его высота $SM$ равна $h_{бок} = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4l^2-a^2}$.На развертке точка $S$ будет иметь координаты $S = (0, -h_{бок}) = \left(0, -\frac{1}{2}\sqrt{4l^2-a^2}\right)$.Точка $E$ – середина $SC$. Ее координаты:$E = \left(\frac{0+a/2}{2}, \frac{-h_{бок}+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, -\frac{h_{бок}}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, -\frac{1}{4}\sqrt{4l^2-a^2}\right)$.

Найдем квадрат расстояния $d_2^2$ между $D$ и $E$:$d_2^2 = \left(\frac{a}{4} - \left(-\frac{a}{4}\right)\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\sqrt{4l^2-a^2} - \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2$$d_2^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \frac{1}{16}\left(\sqrt{4l^2-a^2} + a\sqrt{3}\right)^2$$d_2^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{1}{16}(4l^2-a^2 + 2a\sqrt{3}\sqrt{4l^2-a^2} + 3a^2)$$d_2^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{4l^2+2a^2+2a\sqrt{3(4l^2-a^2)}}{16}$$d_2^2 = \frac{4a^2+4l^2+2a^2+2a\sqrt{3(4l^2-a^2)}}{16} = \frac{4l^2+6a^2+2a\sqrt{3(4l^2-a^2)}}{16}$$d_2^2 = \frac{2l^2+3a^2+a\sqrt{3(4l^2-a^2)}}{8}$Проверим вычисления другим способом:$d_2^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{\sqrt{4l^2-a^2}}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{4l^2-a^2}{16} + \frac{2a\sqrt{3}\sqrt{4l^2-a^2}}{16} + \frac{3a^2}{16}$$d_2^2 = \frac{4a^2 + 4l^2 - a^2 + 3a^2}{16} + \frac{a\sqrt{3}\sqrt{4l^2-a^2}}{8} = \frac{4l^2+6a^2}{16} + \frac{a\sqrt{3}\sqrt{4l^2-a^2}}{8}$$d_2^2 = \frac{2l^2+3a^2}{8} + \frac{a\sqrt{3(4l^2-a^2)}}{8}$.Кажется, в предыдущей формуле был лишний множитель 2.$d_2^2 = \frac{l^2}{4} + \frac{3a^2}{8} + \frac{a\sqrt{3}\sqrt{4l^2-a^2}}{8}$.

Длина кратчайшего пути по поверхности – это наименьшее из найденных значений.

Ответ: Длина кратчайшего пути $d$ равна $\min(d_1, d_2)$, где:$d_1 = \sqrt{\frac{l^4 + 4a^2l^2 - a^4}{4l^2}}$ (путь через боковое ребро),$d_2 = \sqrt{\frac{l^2}{4} + \frac{3a^2}{8} + \frac{a\sqrt{3(4l^2-a^2)}}{8}}$ (путь через ребро основания).Здесь $a$ – длина стороны основания, $l$ – длина бокового ребра.В частном случае, для правильного тетраэдра, где $l=a$, оба пути равны $a$.