Номер 2.18, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.18. Пирамида Хеопса в Египте — правильная четырехугольная пирамида, высота которой около 140 м, а площадь основания 5,3 га (рис. 2.13). Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Рис. 2.13

Пирамида Хеопса — это правильная четырехугольная пирамида. Согласно условию задачи, её высота $h \approx 140$ м, а площадь основания $S_{осн} = 5,3$ га.

Для нахождения площади боковой поверхности $S_{бок}$ правильной пирамиды используется формула $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

Сначала переведем площадь основания из гектаров в квадратные метры. Так как 1 га = 10 000 м², получаем:$S_{осн} = 5,3 \text{ га} = 5,3 \cdot 10000 \text{ м}^2 = 53000 \text{ м}^2$.

Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a$. Его площадь $S_{осн} = a^2$, следовательно, $a = \sqrt{S_{осн}} = \sqrt{53000}$ м.

Апофему $l$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — сама апофема $l$.$l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$.Подставим известные значения:$l^2 = 140^2 + \frac{53000}{4} = 19600 + 13250 = 32850$.Отсюда апофема $l = \sqrt{32850}$ м.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности. Периметр основания $P = 4a = 4\sqrt{53000}$ м.$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{53000} \cdot \sqrt{32850} = 2\sqrt{53000 \cdot 32850}$.$S_{бок} = 2\sqrt{1741050000} \text{ м}^2$.

Так как исходные данные являются приближенными, найдем приближенное значение площади:$S_{бок} \approx 2 \cdot 41725.9 \approx 83451.8 \text{ м}^2$.Округлив до целых, получаем $83452 \text{ м}^2$.

Ответ: $\approx 83452 \text{ м}^2$.