Номер 2.19, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.19. Найдите площадь поверхности детали в форме правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 1 и 2, а боковые ребра равны 1 (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Площадь полной поверхности детали $S_{полн}$ складывается из площади нижнего основания $S_{нижн}$, площади верхнего основания $S_{верхн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. Деталь имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды, что означает, что ее основания — квадраты, а боковые грани — четыре одинаковые равнобедренные трапеции.

1. Вычисление площадей оснований.

Нижнее основание — это квадрат со стороной $a = 2$. Его площадь равна:
$S_{нижн} = a^2 = 2^2 = 4$.
Верхнее основание — это квадрат со стороной $b = 1$. Его площадь равна:
$S_{верхн} = b^2 = 1^2 = 1$.

2. Вычисление площади боковой поверхности.

Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных трапеций. Рассмотрим одну из них.
Основания этой трапеции равны сторонам оснований пирамиды, то есть $2$ и $1$.
Боковые стороны трапеции являются боковыми ребрами пирамиды, и их длина по условию равна $1$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{трап} = \frac{p+q}{2} \cdot h$, где $p$ и $q$ — основания, а $h$ — высота трапеции (называемая апофемой усеченной пирамиды).
Чтобы найти высоту $h$, проведем в трапеции высоту из вершины меньшего основания к большему. В образовавшемся прямоугольном треугольнике гипотенузой будет боковое ребро ($l=1$), а одним из катетов — отрезок, равный полуразности оснований трапеции.
Длина этого катета: $\frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$.
Второй катет — это искомая высота $h$. По теореме Пифагора:
$h^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1^2$
$h^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$h = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь найдем площадь одной боковой грани (трапеции):
$S_{трап} = \frac{2+1}{2} \cdot h = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.
Площадь всей боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех таких трапеций:
$S_{бок} = 4 \cdot S_{трап} = 4 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$.

3. Вычисление полной площади поверхности.

Сложим площади оснований и боковой поверхности, чтобы найти общую площадь поверхности детали:
$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок} = 4 + 1 + 3\sqrt{3} = 5 + 3\sqrt{3}$.

Ответ: $5 + 3\sqrt{3}$.