Страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.12 На листе бумаги в клетку изобразите усеченные пирамиды, аналогичные данным на рисунке 2.11.

а)

б)

Рис. 2.11

а)

Для построения усеченной треугольной пирамиды, аналогичной изображенной на рисунке, сначала начертим на клетчатой бумаге ее основания. Нижнее основание — треугольник с вершинами, например, в точках $L_1(2, 1)$, $L_2(8, 1)$ и $L_3(6, 3)$. Ребро $L_1L_2$ является передним. Его, а также ребро $L_2L_3$, изображаем сплошной линией. Заднее ребро $L_1L_3$ изображаем пунктиром как невидимое. Затем чертим верхнее, меньшее по размеру, основание — треугольник с вершинами, например, в точках $U_1(4, 5)$, $U_2(7, 5)$ и $U_3(6, 6)$. Все его стороны ($U_1U_2$, $U_2U_3$, $U_1U_3$) рисуем сплошными линиями. Наконец, соединяем соответствующие вершины оснований боковыми ребрами. Видимые ребра $L_2U_2$ и $L_3U_3$ рисуем сплошными линиями, а невидимое заднее ребро $L_1U_1$ — пунктирной линией.

Ответ:

б)

Для построения усеченной четырехугольной пирамиды, аналогичной изображенной на рисунке, определим координаты вершин на клетчатой бумаге. Сначала начертим нижнее основание. Пусть его вершины находятся в точках $L_1(1, 4)$ (задняя левая), $L_2(3, 2)$ (передняя левая), $L_3(9, 2)$ (передняя правая) и $L_4(7, 5)$ (задняя правая). Видимые ребра — переднее $L_2L_3$ и боковое правое $L_3L_4$ — рисуем сплошной линией. Невидимые ребра — заднее $L_1L_4$ и боковое левое $L_1L_2$ — рисуем пунктиром. Затем чертим верхнее основание с вершинами в точках $U_1(3, 8)$, $U_2(4, 6)$, $U_3(8, 6)$ и $U_4(7, 8)$. Все стороны верхнего основания рисуем сплошными линиями. В завершение соединяем соответствующие вершины оснований. Видимые боковые ребра $L_2U_2$, $L_3U_3$ и $L_4U_4$ изображаем сплошными линиями, а невидимое заднее левое ребро $L_1U_1$ — пунктирной.

Ответ:

2.13. Нарисуйте развертку правильной четырехугольной усеченной пирамиды.

2.13. Правильная четырехугольная усеченная пирамида — это многогранник, который образуется при отсечении вершины правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию. Поверхность этого тела состоит из двух оснований и боковой поверхности.

Развертка представляет собой плоскую фигуру, из которой можно сложить объемную модель тела без разрывов и наложений. Развертка правильной четырехугольной усеченной пирамиды состоит из следующих геометрических фигур:

1. Нижнее основание: квадрат со стороной $a$.

2. Верхнее основание: квадрат со стороной $b$, где $b < a$.

3. Боковые грани: четыре одинаковые равнобедренные трапеции. Длины параллельных сторон каждой трапеции равны сторонам оснований ($a$ и $b$), а боковые стороны равны боковому ребру усеченной пирамиды.

Чтобы нарисовать развертку, нужно выполнить следующие шаги:

1. Начертить квадрат нижнего основания со стороной $a$.

2. К каждой из четырех сторон этого квадрата пристроить по одной равнобедренной трапеции так, чтобы их большие основания (длиной $a$) совпали со сторонами квадрата.

3. К одному из свободных меньших оснований (длиной $b$) любой из трапеций пристроить квадрат верхнего основания.

Ниже приведен графический пример такой развертки:

На этом рисунке в центре расположен большой квадрат (нижнее основание), к сторонам которого примыкают четыре трапеции (боковые грани). К верхней трапеции пристроен малый квадрат (верхнее основание). Пунктирные линии обозначают линии сгиба. Если вырезать эту фигуру и согнуть по указанным линиям, получится объемная модель правильной четырехугольной усеченной пирамиды.

Ответ: Развертка правильной четырехугольной усеченной пирамиды состоит из одного большого квадрата, одного малого квадрата и четырех одинаковых равнобедренных трапеций, расположенных так, что четыре трапеции примыкают к сторонам большого квадрата, а малый квадрат примыкает к одной из трапеций, как показано на рисунке.

2.14. Нарисуйте развертку правильной шестиугольной усеченной пирамиды.

Правильная шестиугольная усеченная пирамида — это многогранник, полученный из правильной шестиугольной пирамиды путем отсечения ее вершины плоскостью, параллельной основанию. У такой фигуры есть два основания — большое и малое, которые являются правильными шестиугольниками, и шесть боковых граней, представляющих собой равные между собой равнобедренные трапеции.

Развертка представляет собой плоскую фигуру, из которой можно сложить (склеить) объемную модель усеченной пирамиды. Она состоит из всех граней фигуры, расположенных в одной плоскости и соединенных друг с другом по ребрам.

Построение развертки:
1. В центре листа чертится большее основание — правильный шестиугольник со стороной $a$.
2. К каждой из шести сторон этого шестиугольника пристраивается боковая грань — равнобедренная трапеция. Большее основание каждой трапеции совпадает со стороной шестиугольника. Все шесть трапеций абсолютно одинаковы.
3. Меньшее основание каждой трапеции имеет длину $b$. Эти стороны при сворачивании развертки образуют периметр верхнего основания.
4. К любому из свободных меньших оснований трапеций пристраивается меньшее основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной $b$.

На приведенном ниже рисунке показан один из возможных вариантов развертки.

Ответ:
Развертка правильной шестиугольной усеченной пирамиды состоит из двух правильных шестиугольников (оснований) и шести равных равнобедренных трапеций (боковых граней), соединенных сторонами, как показано на рисунке. Центральный многоугольник — нижнее, большее основание. Шесть трапеций — боковые грани. Отдельно присоединенный шестиугольник — верхнее, меньшее основание.

2.15. Найдите высоту правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 4 и 2, а боковые ребра равны 3.

Пусть $a_1 = 4$ и $a_2 = 2$ — стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды, а $l = 3$ — ее боковое ребро. Требуется найти высоту пирамиды $h$.

Для решения задачи воспользуемся диагональным сечением пирамиды. Это сечение — равнобокая трапеция, основаниями которой являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а боковыми сторонами — боковые ребра ($l$). Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $h$.

Найдем длины диагоналей оснований. Так как основания являются квадратами, их диагонали вычисляются по формуле $d = a\sqrt{2}$.Для большего основания диагональ $d_1 = 4\sqrt{2}$.Для меньшего основания диагональ $d_2 = 2\sqrt{2}$.

Высоту $h$ найдем из прямоугольного треугольника. Гипотенузой этого треугольника является боковое ребро $l$. Одним катетом является высота $h$. Другой катет, назовем его $x$, равен полуразности длин оснований трапеции (диагоналей пирамиды).Рассчитаем длину катета $x$:$x = \frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Теперь по теореме Пифагора $l^2 = h^2 + x^2$. Выразим и найдем $h$:$h^2 = l^2 - x^2$$h^2 = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$$h = \sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{7}$

2.16. Найдите боковые ребра правильной шестиугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 2 и 1, а высота равна 3.

Пусть $a_1$ и $a_2$ — длины сторон оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды, $H$ — ее высота, а $l$ — искомая длина бокового ребра. Из условия задачи известны следующие величины: $a_1 = 2$ (сторона большего основания), $a_2 = 1$ (сторона меньшего основания), $H = 3$.

Для того чтобы найти длину бокового ребра, рассмотрим прямоугольный треугольник. Его гипотенузой будет само боковое ребро $l$. Одним катетом будет высота усеченной пирамиды $H$. Вторым катетом будет проекция бокового ребра на плоскость большего основания.

Найдем длину этой проекции. В правильной усеченной пирамиде проекция бокового ребра на плоскость основания равна разности радиусов окружностей, описанных около оснований. Радиус $R$ окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен длине его стороны $a$. Следовательно, радиус окружности, описанной около большего основания, равен $R_1 = a_1 = 2$. Радиус окружности, описанной около меньшего основания, равен $R_2 = a_2 = 1$.

Длина проекции бокового ребра на плоскость большего основания, обозначим ее $d$, равна разности этих радиусов: $d = R_1 - R_2 = 2 - 1 = 1$.

Теперь, используя теорему Пифагора для построенного прямоугольного треугольника, найдем длину бокового ребра $l$: $l^2 = H^2 + d^2$ Подставим известные значения: $l^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$ $l = \sqrt{10}$

Ответ: $\sqrt{10}$

2.17. Дворец мира и согласия в Нур-Султане (рис. 2.12) имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания и высота которой равны 62 м. Найдите площадь боковой поверхности Дворца.

Рис. 2.12

Рис. 2.13

Дворец мира и согласия имеет форму правильной четырехугольной пирамиды. Сторона основания $a$ и высота $H$ пирамиды равны 62 м.

$a = 62$ м
$H = 62$ м

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_s$, где $P$ — периметр основания, а $h_s$ — апофема (высота боковой грани).

1. Найдем периметр основания.
Основание пирамиды — правильный четырехугольник, то есть квадрат со стороной $a = 62$ м. Периметр основания $P = 4a = 4 \cdot 62 = 248$ м.

2. Найдем апофему $h_s$.
Апофему можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ (которая является апофемой основания) и самой апофемой $h_s$, которая в этом треугольнике будет гипотенузой.

По теореме Пифагора: $h_s^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$.

Подставим известные значения:
$\frac{a}{2} = \frac{62}{2} = 31$ м.
$h_s = \sqrt{62^2 + 31^2} = \sqrt{3844 + 961} = \sqrt{4805}$ м.

Упростим корень: $4805 = 5 \cdot 961 = 5 \cdot 31^2$.
Следовательно, $h_s = \sqrt{5 \cdot 31^2} = 31\sqrt{5}$ м.

3. Найдем площадь боковой поверхности.
Теперь подставим найденные значения периметра $P$ и апофемы $h_s$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 248 \cdot 31\sqrt{5} = 124 \cdot 31\sqrt{5} = 3844\sqrt{5}$ м².

Ответ: Площадь боковой поверхности Дворца равна $3844\sqrt{5}$ м².

2.18. Пирамида Хеопса в Египте — правильная четырехугольная пирамида, высота которой около 140 м, а площадь основания 5,3 га (рис. 2.13). Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Рис. 2.13

Пирамида Хеопса — это правильная четырехугольная пирамида. Согласно условию задачи, её высота $h \approx 140$ м, а площадь основания $S_{осн} = 5,3$ га.

Для нахождения площади боковой поверхности $S_{бок}$ правильной пирамиды используется формула $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

Сначала переведем площадь основания из гектаров в квадратные метры. Так как 1 га = 10 000 м², получаем:$S_{осн} = 5,3 \text{ га} = 5,3 \cdot 10000 \text{ м}^2 = 53000 \text{ м}^2$.

Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a$. Его площадь $S_{осн} = a^2$, следовательно, $a = \sqrt{S_{осн}} = \sqrt{53000}$ м.

Апофему $l$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — сама апофема $l$.$l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$.Подставим известные значения:$l^2 = 140^2 + \frac{53000}{4} = 19600 + 13250 = 32850$.Отсюда апофема $l = \sqrt{32850}$ м.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности. Периметр основания $P = 4a = 4\sqrt{53000}$ м.$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{53000} \cdot \sqrt{32850} = 2\sqrt{53000 \cdot 32850}$.$S_{бок} = 2\sqrt{1741050000} \text{ м}^2$.

Так как исходные данные являются приближенными, найдем приближенное значение площади:$S_{бок} \approx 2 \cdot 41725.9 \approx 83451.8 \text{ м}^2$.Округлив до целых, получаем $83452 \text{ м}^2$.

Ответ: $\approx 83452 \text{ м}^2$.