Страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.24 Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.19.

а)

б)

Рис. 1.19

а)

Для нахождения площади поверхности первой детали, представим её как призму с основанием в виде U-образной фигуры. Глубина этой призмы (длина боковых рёбер) равна 2.

1. Найдём площадь основания (U-образной фигуры).

Основание можно рассматривать как прямоугольник размером $3 \times 2$ с вырезанным сверху по центру прямоугольником размером $1 \times 1$.

Площадь одного основания: $S_{осн} = (3 \times 2) - (1 \times 1) = 6 - 1 = 5$.

Так как у призмы два основания (передняя и задняя грани), их суммарная площадь: $S_{1} = 2 \times S_{осн} = 2 \times 5 = 10$.

2. Найдём площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на глубину призмы. Сначала найдём периметр U-образной фигуры.

Периметр состоит из внешних и внутренних рёбер:

• Нижнее ребро: 3
• Левое и правое вертикальные рёбра: $2 + 2 = 4$
• Верхние горизонтальные рёбра: $1 + 1 = 2$
• Внутренние рёбра выреза (два вертикальных по 1 и одно горизонтальное 1): $1 + 1 + 1 = 3$

Периметр основания: $P = 3 + 4 + 2 + 3 = 12$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \times глубина = 12 \times 2 = 24$.

3. Найдём общую площадь поверхности.

Общая площадь поверхности детали равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности.

$S_{общ} = S_{1} + S_{бок} = 10 + 24 = 34$.

Ответ: 34.

б)

В размерах второй детали есть противоречие: общая длина нижнего ребра равна 3, в то время как сумма длин верхних частей (левая башня 1, правая башня 1, промежуток 2) равна $1 + 2 + 1 = 4$. Предположим, что в размере нижнего ребра допущена опечатка, и его истинная длина равна 4. Тогда деталь можно представить как композицию из трёх прямоугольных параллелепипедов: большого основания и двух маленьких "башен" наверху.

1. Определим размеры составных частей:

• Основание: длина = 4, ширина = 2, высота = 1.
• Левая башня (куб): 1x1x1.
• Правая башня (куб): 1x1x1.

2. Рассчитаем площадь поверхности методом сложения площадей всех видимых граней.

• Горизонтальные грани:
  • Нижняя грань (дно): $4 \times 2 = 8$.
  • Верхняя грань основания (часть, не покрытая башнями): $(4 \times 2) - (1 \times 1) - (1 \times 1) = 8 - 2 = 6$.
  • Верхние грани башен: $(1 \times 1) + (1 \times 1) = 2$.
  Сумма площадей горизонтальных граней: $8 + 6 + 2 = 16$.
• Вертикальные грани, параллельные боковой стороне (длиной 2):
  • Левая боковая грань (L-образная): $(2 \times 1) + (1 \times 1) = 3$.
  • Правая боковая грань (L-образная): $(2 \times 1) + (1 \times 1) = 3$.
  • Внутренние грани башен, образующие зазор: $(1 \times 1) + (1 \times 1) = 2$.
  Сумма площадей этих граней: $3 + 3 + 2 = 8$.
• Вертикальные грани, параллельные передней стороне (длиной 4):
  • Задняя грань (полностью): $4 \times 2 = 8$.
  • Передняя грань (ступенчатая): нижняя часть $(4 \times 1)$ + передние грани башен $(1 \times 1) + (1 \times 1)$. Итого: $4 + 1 + 1 = 6$.
  Сумма площадей этих граней: $8 + 6 = 14$.

3. Найдём общую площадь поверхности.

Сложим площади всех найденных групп граней:

$S_{общ} = 16 (горизонтальные) + 8 (боковые) + 14 (передние/задние) = 38$.

Давайте перепроверим другим методом, разбив на части и вычитая площади соприкосновения.

• Площадь поверхности основания ($4 \times 2 \times 1$): $S_{осн} = 2(4\cdot2 + 4\cdot1 + 2\cdot1) = 2(8+4+2) = 28$.
• Площадь поверхности одной башни ($1 \times 1 \times 1$): $S_{башня} = 6(1^2) = 6$.
• Площадь соприкосновения одной башни с основанием: $A_c = 1 \times 1 = 1$.

Общая площадь равна сумме площадей всех частей минус удвоенные площади соприкосновения:

$S_{общ} = S_{осн} + 2 \times S_{башня} - 2 \times (2 \times A_c) = 28 + 2 \times 6 - 4 \times 1 = 28+12-4 = 36$.

Произошла ошибка в первом методе. Давайте найдем ее. В п.2.3. ("Вертикальные грани, параллельные передней стороне"): Задняя грань - это не единый прямоугольник $4 \times 2$. Она состоит из задней стенки основания ($4 \times 1$) и видимой части задней стенки башен. Но башни находятся спереди. Задняя грань - это задняя грань основания ($4 \times 1 = 4$) плюс задняя грань верхней части ($4 \times 1 = 4$). Итого $8$. Передняя грань 6.Давайте воспользуемся списком всех отдельных внешних граней:

• Дно: $4 \times 2 = 8$.
• Верх башен: $2 \times (1 \times 1) = 2$.
• Верх основания: $4 \times 2 - 2 \times (1 \times 1) = 6$.
• Задняя стенка основания: $4 \times 1 = 4$.
• Задние стенки башен (видимые сзади, над основанием): $2 \times (1 \times 1) = 2$.
• Передняя стенка основания: $4 \times 1 = 4$.
• Передние стенки башен: $2 \times (1 \times 1) = 2$.
• Боковая левая стенка основания: $2 \times 1 = 2$.
• Боковая левая стенка башни: $1 \times 1 = 1$.
• Боковая правая стенка основания: $2 \times 1 = 2$.
• Боковая правая стенка башни: $1 \times 1 = 1$.
• Внутренняя боковая стенка левой башни: $1 \times 1 = 1$.
• Внутренняя боковая стенка правой башни: $1 \times 1 = 1$.

Суммируем все: $S = 8+2+6+4+2+4+2+2+1+2+1+1+1 = 36$.

Результаты двух точных методов совпали.

Ответ: 36.

1.25 Чему равна площадь поверхности детали в форме пространственного креста (рис. 1.20), если ребра образующих его кубов равны единице?

Рис. 1.20

25 м

5 м

7 м

Рис. 1.21

Для решения задачи определим площадь поверхности пространственного креста, состоящего из единичных кубов. Предполагается, что фигура представляет собой симметричный пространственный крест, который состоит из одного центрального куба и шести кубов, примыкающих к каждой из его граней. Таким образом, всего в фигуре 7 кубов.

Длина ребра каждого куба, согласно условию, равна $a=1$. Площадь одной грани такого куба составляет $S_{грань} = a^2 = 1^2 = 1$ квадратная единица.

Площадь поверхности всей детали можно найти, вычислив суммарную площадь поверхностей всех составляющих ее кубов, если бы они были раздельными, а затем вычтя из этой суммы площади тех граней, которые при соединении кубов оказались внутри фигуры.

1. Найдем общую площадь поверхности 7 отдельных кубов. Каждый куб имеет 6 граней, поэтому общая площадь составляет:$S_{общая} = 7 \times (6 \times S_{грань}) = 7 \times (6 \times 1) = 42$ квадратные единицы.

2. Определим площадь граней, которые скрыты внутри фигуры. Центральный куб соединен с шестью другими кубами. Каждое соединение скрывает две грани (одну на центральном кубе и одну на примыкающем). Всего соединений 6, следовательно, количество скрытых граней равно:$N_{скрытых} = 6 \times 2 = 12$ граней.

3. Площадь всех скрытых граней составляет:$S_{скрытая} = N_{скрытых} \times S_{грань} = 12 \times 1 = 12$ квадратных единиц.

4. Площадь поверхности детали равна разности общей площади поверхностей отдельных кубов и площади скрытых граней:$S_{детали} = S_{общая} - S_{скрытая} = 42 - 12 = 30$ квадратных единиц.

Альтернативный способ подсчета заключается в определении количества внешних (видимых) граней. Центральный куб полностью окружен, и его вклад в площадь поверхности равен нулю. Каждый из 6 внешних кубов имеет 5 видимых граней (одна грань каждого из них скрыта, так как она примыкает к центральному кубу). Таким образом, общее число видимых граней равно $6 \times 5 = 30$. Так как площадь каждой грани равна 1, общая площадь поверхности детали составляет $30 \times 1 = 30$ квадратных единиц.

Ответ: 30

1.26. На рисунке 1.21 изображено поперечное сечение канала. Дно и стенки канала забетонированы. Какую площадь нужно покрыть бетоном на каждый километр канала?

Из рисунка 1.21 известны следующие размеры поперечного сечения канала:

Ширина по верху: 25 м

Ширина по дну: 7 м

Высота: 5 м

Длина наклонной стенки ($L_{\text{стенки}}$) может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, где горизонтальная проекция стенки составляет $\frac{25-7}{2}$ м:

$L_{\text{стенки}} = \sqrt{H^2 + \left(\frac{B_{\text{верх}} - B_{\text{дно}}}{2}\right)^2}$

Периметр, подлежащий бетонированию ($P$), включает ширину дна и длины двух наклонных стенок:

$P = B_{\text{дно}} + 2 \cdot L_{\text{стенки}}$

Площадь, которую нужно покрыть бетоном на каждый километр канала ($A$), равна найденному периметру, умноженному на 1 километр (1000 метров):

$A = P \cdot 1000 \, \text{м}$

Рис. 1.21

Для решения задачи необходимо найти площадь поверхности, которую нужно покрыть бетоном. Эта поверхность состоит из дна и двух боковых стенок канала на протяжении 1 километра. Площадь можно найти, умножив периметр поперечного сечения, подлежащего бетонированию, на длину канала.

Поперечное сечение канала представляет собой равнобедренную трапецию со следующими размерами:

• Верхнее основание (ширина по верху): $a = 25$ м.
• Нижнее основание (ширина дна): $b = 7$ м.
• Высота канала: $h = 5$ м.

Сначала найдем длину одной боковой стенки (боковой стороны трапеции), обозначим ее как $c$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $h$, боковой стороной $c$ (которая будет гипотенузой) и катетом, равным половине разности оснований трапеции.

Длина этого горизонтального катета $x$ равна:$x = \frac{a - b}{2} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ м.

Теперь по теореме Пифагора найдем длину боковой стенки $c$:$c = \sqrt{h^2 + x^2} = \sqrt{5^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}$ м.

Периметр сечения, который нужно покрыть бетоном, $P_{бетон}$, состоит из дна и двух боковых стенок:$P_{бетон} = b + 2c = 7 + 2\sqrt{106}$ м.

Теперь вычислим общую площадь $S$, которую нужно забетонировать на протяжении 1 км. Переведем длину канала в метры: $L = 1 \text{ км} = 1000$ м.

Площадь равна произведению периметра бетонируемой части на длину канала:$S = P_{бетон} \times L = (7 + 2\sqrt{106}) \times 1000 = 7000 + 2000\sqrt{106} \text{ м}^2$.

Для получения численного значения вычислим приближенное значение. Так как $\sqrt{106} \approx 10.2956$:$S \approx (7 + 2 \times 10.2956) \times 1000 = (7 + 20.5912) \times 1000 = 27.5912 \times 1000 = 27591.2 \text{ м}^2$.

Ответ: Площадь, которую нужно покрыть бетоном на каждый километр канала, составляет $7000 + 2000\sqrt{106} \text{ м}^2$, что приблизительно равно $27591.2 \text{ м}^2$.