Страница 9 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам

Из определения призмы можно получить следующие ее свойства:

1) боковые ребра равны;

2) основания равны и параллельны.

Докажите эти свойства самостоятельно

Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в вершине $A$. Пусть векторы, соответствующие ребрам, выходящим из этой вершины, будут $\vec{AD} = \vec{a}$, $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Выразим радиус-векторы всех вершин параллелепипеда через базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$:
$\vec{r_A} = \vec{0}$
$\vec{r_B} = \vec{b}$
$\vec{r_D} = \vec{a}$
$\vec{r_C} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{b} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$
$\vec{r_{A_1}} = \vec{c}$
$\vec{r_{B_1}} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{r_{D_1}} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{a} + \vec{c}$
$\vec{r_{C_1}} = \vec{AC} + \vec{CC_1} = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

У параллелепипеда четыре пространственные диагонали: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$ и $DB_1$.Найдем радиус-вектор середины каждой из этих диагоналей. Радиус-вектор середины отрезка $XY$ вычисляется по формуле $\vec{r_M} = \frac{1}{2}(\vec{r_X} + \vec{r_Y})$.

1. Середина диагонали $AC_1$:
$\vec{r_{M1}} = \frac{1}{2}(\vec{r_A} + \vec{r_{C_1}}) = \frac{1}{2}(\vec{0} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

2. Середина диагонали $BD_1$:
$\vec{r_{M2}} = \frac{1}{2}(\vec{r_B} + \vec{r_{D_1}}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + (\vec{a} + \vec{c})) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

3. Середина диагонали $A_1C$:
$\vec{r_{M3}} = \frac{1}{2}(\vec{r_{A_1}} + \vec{r_C}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + (\vec{a} + \vec{b})) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

4. Середина диагонали $B_1D$:
$\vec{r_{M4}} = \frac{1}{2}(\vec{r_{B_1}} + \vec{r_D}) = \frac{1}{2}((\vec{b} + \vec{c}) + \vec{a}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Так как радиус-векторы середин всех четырех диагоналей равны ($\vec{r_{M1}} = \vec{r_{M2}} = \vec{r_{M3}} = \vec{r_{M4}}$), это означает, что все они совпадают в одной точке $O$ с радиус-вектором $\vec{r_O} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$. Эта точка является серединой каждой из диагоналей.
Таким образом, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая является серединой каждой из них.

Докажите эти свойства самостоятельно

1) боковые ребра равны

По определению, призма – это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а боковые ребра, соединяющие соответствующие вершины оснований, параллельны.
Рассмотрим призму с основаниями $A_1A_2...A_n$ и $B_1B_2...B_n$. Основание $B_1B_2...B_n$ получено из $A_1A_2...A_n$ параллельным переносом на некоторый вектор $\vec{v}$.
Боковыми ребрами призмы являются отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований: $A_1B_1, A_2B_2, ..., A_nB_n$.
По определению параллельного переноса, для каждой пары соответствующих вершин $A_i$ и $B_i$ выполняется векторное равенство $\vec{A_iB_i} = \vec{v}$.
Длина бокового ребра $A_iB_i$ равна модулю (длине) вектора $\vec{A_iB_i}$, то есть $|A_iB_i| = |\vec{v}|$.
Так как это справедливо для всех $i$ от 1 до $n$, то длины всех боковых ребер равны одной и той же величине $|\vec{v}|$.
Следовательно, все боковые ребра призмы равны.

Ответ: Доказано, что боковые ребра призмы равны, так как они являются результатом одного и того же параллельного переноса и их длина равна модулю вектора переноса.

2) основания равны и параллельны

Докажем оба утверждения по отдельности, исходя из определения призмы.
Параллельность оснований:
По определению призмы, ее основания — это два многоугольника, которые лежат в параллельных плоскостях. Таким образом, параллельность оснований является частью определения призмы и не требует отдельного доказательства.
Равенство (конгруэнтность) оснований:
По определению, одно основание призмы получается из другого путем параллельного переноса. Параллельный перенос является движением (изометрией), то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками.
Пусть основание $P_1 = A_1A_2...A_n$ переносится в основание $P_2 = B_1B_2...B_n$. Поскольку параллельный перенос сохраняет расстояния, длина любого отрезка в первом основании равна длине соответствующего отрезка во втором. Например, $|A_iA_j| = |B_iB_j|$ для любых $i, j$. Это означает, что соответствующие стороны оснований равны.
Также движение сохраняет и углы. Угол $\angle A_iA_jA_k$ в первом основании равен соответствующему углу $\angle B_iB_jB_k$ во втором основании.
Два многоугольника называются равными (конгруэнтными), если у них равны все соответствующие стороны и все соответствующие углы. Так как параллельный перенос сохраняет и то, и другое, основания призмы конгруэнтны.

Ответ: Доказано, что основания призмы равны (конгруэнтны) и лежат в параллельных плоскостях, что следует непосредственно из определения призмы как многогранника, образованного параллельным переносом многоугольника.