Страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

40. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой:

a) $A_1 D_1$;

б) $A_1 C_1$.

а) Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Рассмотрим треугольник $BA_1D_1$. В единичном кубе длина ребра равна 1.

Найдем длины сторон этого треугольника:

1. $A_1D_1$ — ребро куба, его длина равна 1.

2. $BA_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AA_1B$, $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

3. $BD_1$ — пространственная диагональ куба. Её длина $BD_1 = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Проверим для треугольника $BA_1D_1$ выполнение обратной теоремы Пифагора:

$A_1D_1^2 + BA_1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

$BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Поскольку $A_1D_1^2 + BA_1^2 = BD_1^2$, треугольник $BA_1D_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$. Это означает, что катет $BA_1$ перпендикулярен катету $A_1D_1$. Следовательно, длина отрезка $BA_1$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$.

Ответ: $\sqrt{2}$

б) Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $A_1C_1$ рассмотрим треугольник $BA_1C_1$.

Найдем длины его сторон:

1. $A_1C_1$ — диагональ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Ее длина $A_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

2. $BA_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$. Ее длина $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

3. $BC_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$. Ее длина $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Все три стороны треугольника $BA_1C_1$ равны, значит, он является равносторонним со стороной $a = \sqrt{2}$. Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$ равно высоте $h$ этого треугольника.

Высота равностороннего треугольника находится по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставим значение стороны $a = \sqrt{2}$:

$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

41. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ все ребра равны 1.

Найдите расстояние от точки B до прямой:

a) $AC_1$;

б) $A_1 C_1$.

а)

Расстояние от точки B до прямой $AC_1$ — это длина высоты $BH$, опущенной из вершины B на сторону $AC_1$ в треугольнике $ABC_1$. Чтобы найти эту высоту, мы можем найти площадь треугольника $ABC_1$ и длину стороны $AC_1$.

Найдем длины сторон треугольника $ABC_1$. По условию, все ребра правильной призмы равны 1.

1. Сторона $AB$ является ребром основания, поэтому $AB = 1$.

2. Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Эта грань — квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$:$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

3. Сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Эта грань также является квадратом со стороной 1. Аналогично:$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $ABC_1$ имеет стороны $1, \sqrt{2}, \sqrt{2}$.Найдем его площадь $S$ по формуле Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$:$p = \frac{AB + AC_1 + BC_1}{2} = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем площадь:$S = \sqrt{p(p-AB)(p-AC_1)(p-BC_1)}$$S = \sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\frac{1+2\sqrt{2}}{2}-1\right) \cdot \left(\frac{1+2\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\right) \cdot \left(\frac{1+2\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\right)}$$S = \sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1+2\sqrt{2}-2}{2} \cdot \frac{1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}}$$S = \sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}-1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{(2\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-1)}{16}} = \sqrt{\frac{(2\sqrt{2})^2 - 1^2}{16}} = \sqrt{\frac{8-1}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через высоту $BH$ и основание $AC_1$:$S = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot BH$.Отсюда выразим искомую высоту $BH$:$BH = \frac{2S}{AC_1} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{4}$

б)

Нам нужно найти расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$.

Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Точка B лежит в плоскости нижнего основания $ABC$. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1$, и его длина равна 1.

Рассмотрим проекцию точки B на плоскость верхнего основания — это точка $B_1$. Расстояние от B до прямой $A_1C_1$ (обозначим его $d$) можно найти с помощью теоремы Пифагора в пространстве.

Пусть $M$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B_1$ на прямую $A_1C_1$ в плоскости $A_1B_1C_1$. Тогда отрезок $B_1M$ — это расстояние от точки $B_1$ до прямой $A_1C_1$.Так как $BB_1$ перпендикулярно всей плоскости $A_1B_1C_1$, то $BB_1$ перпендикулярно и прямой $B_1M$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольник $BB_1M$ является прямоугольным с прямым углом $B_1$.Искомое расстояние $d$ — это гипотенуза $BM$ этого треугольника.$d^2 = BM^2 = BB_1^2 + B_1M^2$.

Найдем длины катетов:1. $BB_1 = 1$ (по условию).2. $B_1M$ — это высота в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ со стороной 1. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.При $a=1$, получаем $B_1M = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим найденные значения в формулу:$d^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

Следовательно, искомое расстояние равно:$d = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$

42. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости:

а) $ACC_1$;

б) $ACB_1$.

а) Расстояние от точки B до плоскости ACC₁.

Плоскость ACC₁ является диагональной плоскостью куба ACC₁A₁, проходящей через диагональ AC основания. Рассмотрим основание куба — квадрат ABCD. В этом квадрате диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения буквой O. Таким образом, отрезок BO перпендикулярен отрезку AC.

Так как ребро CC₁ перпендикулярно плоскости основания ABCD, то и вся плоскость ACC₁, содержащая это ребро, перпендикулярна плоскости основания ABCD. Поскольку отрезок BO лежит в плоскости ABCD и перпендикулярен линии пересечения плоскостей AC, то BO является перпендикуляром ко всей плоскости ACC₁. Следовательно, длина отрезка BO и есть искомое расстояние от точки B до плоскости ACC₁.

Длина диагонали BD грани куба (квадрата со стороной 1) вычисляется по теореме Пифагора: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Точка O является серединой диагонали BD. Значит, $BO = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Расстояние от точки B до плоскости ACB₁.

Для нахождения расстояния воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр с вершинами A, B, C, B₁. Объем этого тетраэдра можно вычислить по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота, опущенная на это основание.

С одной стороны, выберем в качестве основания треугольник ABC, лежащий в основании куба. Этот треугольник является прямоугольным (угол $\angle ABC = 90^\circ$) и равнобедренным, так как AB = BC = 1 (ребра куба). Его площадь равна: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Высотой тетраэдра, опущенной из вершины B₁ на это основание, является ребро BB₁, которое перпендикулярно плоскости ABC. Длина высоты $h = BB_1 = 1$.

Тогда объем тетраэдра B₁-ABC равен: $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot BB_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}$.

С другой стороны, тот же объем можно выразить, выбрав в качестве основания треугольник ACB₁. Искомое расстояние от точки B до плоскости ACB₁ будет высотой тетраэдра B-ACB₁, опущенной из вершины B на это основание. Обозначим это расстояние как $d$.

Найдем площадь треугольника ACB₁. Для этого вычислим длины его сторон, которые являются диагоналями граней единичного куба:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Треугольник ACB₁ является равносторонним со стороной $a = \sqrt{2}$.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.$S_{ACB_1} = \frac{(\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь приравняем два выражения для объема тетраэдра:$V = \frac{1}{3} S_{ACB_1} \cdot d = \frac{1}{6}$.
$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot d = \frac{1}{6}$.
$\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot d = \frac{1}{6}$.

Отсюда находим $d$: $d = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

43. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите расстояние от вершины B до плоскости:

a) $ACC_1$;

б) $CDD_1$;

в) $DEE_1$;

г) $DFF_1$.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основания — правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. По условию, все ребра равны 1, следовательно, сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Все указанные плоскости ($ACC_1$, $CDD_1$, $DEE_1$, $DFF_1$) содержат боковые ребра призмы или прямые, параллельные им. Это означает, что все эти плоскости перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$. Расстояние от вершины B, которая лежит в плоскости основания, до каждой из этих вертикальных плоскостей равно расстоянию от точки B до прямой, по которой соответствующая плоскость пересекает плоскость основания. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояний на плоскости основания $ABCDEF$.

а) $ACC_1$

Плоскость $ACC_1$ пересекает плоскость основания по прямой $AC$. Требуется найти расстояние от точки B до прямой $AC$. Это расстояние равно высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины B. Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB=BC=1$. Угол $\angle ABC$ — это внутренний угол правильного шестиугольника, который равен $120^\circ$.

Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Найдем длину стороны $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.

Следовательно, $AC = \sqrt{3}$.

Искомое расстояние $d_1$ — это высота $h_B$ треугольника $ABC$. Из формулы площади $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_B$ получаем:

$d_1 = h_B = \frac{2S_{ABC}}{AC} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $CDD_1$

Плоскость $CDD_1$ пересекает плоскость основания по прямой $CD$. Требуется найти расстояние от точки B до прямой $CD$. Продлим стороны $AB$ и $DC$ шестиугольника до их пересечения в точке P. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ равны по $120^\circ$. Тогда в треугольнике $PBC$ углы при вершинах B и C будут смежными с углами шестиугольника, то есть $\angle PBC = \angle PCB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Это означает, что треугольник $PBC$ является равносторонним. Так как сторона $BC=1$, то все его стороны равны 1. Расстояние от точки B до прямой $CD$ (которая является частью прямой $PC$) равно высоте треугольника $PBC$, опущенной из вершины B на сторону $PC$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для $a=1$ искомое расстояние $d_2$ равно $\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $DEE_1$

Плоскость $DEE_1$ пересекает плоскость основания по прямой $DE$. Требуется найти расстояние от точки B до прямой $DE$. В правильном шестиугольнике сторона $AB$ параллельна стороне $DE$. Поэтому расстояние от точки B (лежащей на прямой $AB$) до прямой $DE$ равно расстоянию между этими параллельными прямыми. Это расстояние равно удвоенной апофеме правильного шестиугольника (апофема — это перпендикуляр, опущенный из центра на сторону).

Апофема правильного шестиугольника со стороной $a=1$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Искомое расстояние $d_3$ равно $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

г) $DFF_1$

Плоскость $DFF_1$ пересекает плоскость основания по прямой $DF$. Требуется найти расстояние от точки B до прямой $DF$. Рассмотрим треугольник $BDF$, вершины которого являются вершинами шестиугольника. Его стороны $BD$, $DF$ и $FB$ — это малые диагонали правильного шестиугольника (соединяют вершины через одну). Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. При $a=1$ все стороны треугольника $BDF$ равны $\sqrt{3}$. Значит, треугольник $BDF$ является равносторонним.

Искомое расстояние $d_4$ от вершины B до прямой $DF$ является высотой этого равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной $s$ равна $\frac{s\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае сторона $s = \sqrt{3}$, поэтому расстояние $d_4 = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

44. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1. Найдите расстояние между плоскостями:

а) $ABB_1$ и $DEE_1$;

б) $ACC_1$ и $FDD_1$.

В данной задаче рассматривается правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) равна $a=1$, и высота призмы (длина боковых ребер, например, $AA_1$) равна $h=1$.

а) Найдите расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $DEE_1$.

Плоскость $ABB_1$ совпадает с боковой гранью $ABB_1A_1$. Плоскость $DEE_1$ совпадает с боковой гранью $DEE_1D_1$.
В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Стороны $AB$ и $DE$ являются противолежащими сторонами этого шестиугольника, следовательно, они параллельны ($AB \parallel DE$).
Боковые ребра призмы параллельны друг другу, поэтому $AA_1 \parallel DD_1$.
Поскольку две пересекающиеся прямые ($AB$ и $AA_1$) в плоскости $ABB_1A_1$ параллельны двум пересекающимся прямым ($DE$ и $DD_1$) в плоскости $DEE_1D_1$, эти плоскости параллельны.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между любыми точками этих плоскостей, например, равно длине перпендикуляра, опущенного из одной плоскости на другую. Так как плоскости $ABB_1A_1$ и $DEE_1D_1$ перпендикулярны плоскости основания, искомое расстояние равно расстоянию между прямыми $AB$ и $DE$ в плоскости основания.
Расстояние между противолежащими сторонами правильного шестиугольника со стороной $a$ равно удвоенному апофему (радиусу вписанной окружности). Апофема $r$ правильного шестиугольника вычисляется по формуле:$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
При $a=1$, апофема равна $r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, расстояние между плоскостями равно $d = 2r = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) Найдите расстояние между плоскостями $ACC_1$ и $FDD_1$.

Плоскость $ACC_1$ проходит через точки $A, C, C_1$ и является диагональной плоскостью $ACC_1A_1$. Плоскость $FDD_1$ проходит через точки $F, D, D_1$ и является диагональной плоскостью $FDD_1F_1$.
Рассмотрим четырехугольник $ACDF$ в плоскости основания. Его диагонали $AD$ и $CF$ являются большими диагоналями правильного шестиугольника. Они обе проходят через центр шестиугольника $O$ и равны по длине $2a=2$. Так как диагонали четырехугольника $ACDF$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то $ACDF$ — параллелограмм. Из этого следует, что $AC \parallel FD$.
Так как $AC \parallel FD$ и боковые ребра $AA_1 \parallel DD_1$ (и $AA_1 \parallel FF_1$), то плоскости $ACC_1A_1$ и $FDD_1F_1$ параллельны.
Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между параллельными прямыми $AC$ и $FD$ в плоскости основания.
Найдем это расстояние. Пусть $O$ — центр шестиугольника. Расстояние от центра $O$ до прямой $AC$ и до прямой $FD$ одинаково в силу симметрии. Прямые $AC$ и $FD$ лежат по разные стороны от центра, поэтому искомое расстояние между ними будет равно сумме расстояний от центра до каждой из этих прямых.
Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Он равнобедренный, так как $OA=OC=1$ (радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне). Угол между смежными радиусами $\angle AOB = \angle BOC = 60^\circ$, поэтому $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 120^\circ$.
Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. Тогда $OM$ является высотой и медианой в треугольнике $\triangle OAC$, и $OM \perp AC$. Длина $OM$ — это и есть расстояние от центра $O$ до прямой $AC$.
По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OMA$ (где $\angle OMA = 90^\circ$): $OM^2 = OA^2 - AM^2$.
Сначала найдем длину $AC$. По теореме косинусов для $\triangle ABC$, где $\angle ABC=120^\circ$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
Значит, $AC = \sqrt{3}$. Тогда $AM = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь находим $OM$:$OM^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$OM = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Расстояние от центра $O$ до прямой $AC$ равно $1/2$. Аналогично, расстояние от $O$ до прямой $FD$ равно $1/2$.
Искомое расстояние между параллельными прямыми $AC$ и $FD$ равно $d = d(O, AC) + d(O, FD) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$

45. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1.

Найдите угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

Пусть SABCD — данная правильная четырехугольная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит правильный четырехугольник (квадрат) ABCD, а вершина S проецируется в центр этого квадрата. По условию, все ребра пирамиды равны 1. То есть, стороны основания $AB = BC = CD = DA = 1$, и боковые ребра $SA = SB = SC = SD = 1$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. В нашем случае, нам нужно найти угол между прямой (боковым ребром) SB и плоскостью основания ABC.

Найдем проекцию прямой SB на плоскость ABC. Точка B уже лежит в плоскости ABC, поэтому ее проекция — это сама точка B. Пусть O — центр квадрата ABCD, точка пересечения его диагоналей AC и BD. Так как пирамида правильная, высота SO перпендикулярна плоскости основания ABC. Следовательно, точка O является проекцией вершины S на плоскость ABC. Таким образом, проекцией наклонной SB на плоскость ABC является отрезок OB.

Искомый угол — это угол между наклонной SB и ее проекцией OB, то есть угол $\angle SBO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOB$ (угол $\angle SOB = 90^\circ$, так как $SO \perp ABC$, а $OB \subset ABC$).

Найдем длины сторон этого треугольника. Гипотенуза SB является боковым ребром, по условию $SB = 1$. Катет OB является половиной диагонали квадрата ABCD. Найдем длину диагонали BD из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$. По теореме Пифагора: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда, $BD = \sqrt{2}$. Точка O делит диагональ пополам, поэтому $OB = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь, зная гипотенузу SB и прилежащий катет OB в прямоугольном треугольнике $\triangle SOB$, мы можем найти косинус угла $\angle SBO$: $\cos(\angle SBO) = \frac{OB}{SB} = \frac{\sqrt{2}/2}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$. Следовательно, угол между прямой SB и плоскостью ABC равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

46. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2. Найдите угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ основанием является правильный шестиугольник $ABCDEF$, а вершина $S$ проецируется в центр этого шестиугольника. Обозначим центр основания буквой $O$. Тогда отрезок $SO$ является высотой пирамиды и перпендикулярен плоскости основания $ABC$.

Проекцией наклонной $SB$ на плоскость основания $ABC$ является отрезок $OB$. Следовательно, искомый угол — это угол между прямой $SB$ и её проекцией $OB$, то есть угол $\angle SBO$.

Рассмотрим треугольник $\Delta SOB$. Так как $SO$ — высота, то $SO \perp OB$, и треугольник $\Delta SOB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

В этом треугольнике:

• $SB$ — гипотенуза. По условию, длина бокового ребра равна 2, значит $SB = 2$.
• $OB$ — катет. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны шестиугольника. По условию, сторона основания равна 1, значит $OB = 1$.

Для нахождения угла $\angle SBO$ воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle SBO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OB}{SB}$

Подставим известные значения:

$\cos(\angle SBO) = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.

Таким образом, угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

47. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1. Найдите угол между плоскостями:

а) $ABB_1$ и $BCC_1$;

б) $ABB_1$ и $ACC_1$;

в) $ACC_1$ и $CDD_1$;

г) $ACC_1$ и $BEE_1$.

В данной задаче рассматривается правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основание призмы — правильный шестиугольник со стороной 1, а высота призмы также равна 1. Призма является прямой, то есть ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Плоскости $ABB_1$ (соответствует грани $ABB_1A_1$) и $BCC_1$ (соответствует грани $BCC_1B_1$) — это смежные боковые грани призмы. Их общая линия пересечения — боковое ребро $BB_1$.

Так как призма правильная, она является прямой, и ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.

Из этого следует, что $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку $B$.

В плоскости $ABB_1$ находится ребро основания $AB$. Так как $AB$ лежит в плоскости основания, то $AB \perp BB_1$.

Аналогично, в плоскости $BCC_1$ находится ребро основания $BC$, и $BC \perp BB_1$.

Угол между двумя плоскостями равен углу между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно их линии пересечения из одной точки. В нашем случае это угол между отрезками $AB$ и $BC$, то есть угол $\angle ABC$.

Угол $\angle ABC$ является внутренним углом правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного n-угольника находится по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для шестиугольника, где $n=6$:

$\angle ABC = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

Плоскость $ABB_1$ — это боковая грань призмы, а плоскость $ACC_1$ (которая совпадает с плоскостью $ACC_1A_1$) — это диагональное сечение. Эти плоскости пересекаются по боковому ребру $AA_1$.

Поскольку призма прямая, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, $AA_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$.

В плоскости $ABB_1$ лежит ребро $AB$, и $AB \perp AA_1$.

В плоскости $ACC_1$ лежит диагональ основания $AC$, и $AC \perp AA_1$.

Таким образом, искомый угол между плоскостями равен углу между прямыми $AB$ и $AC$, то есть углу $\angle BAC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ в основании призмы. Основание — правильный шестиугольник со стороной 1, поэтому $AB = BC = 1$. Угол $\angle ABC$ как внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

Плоскость $ACC_1$ — диагональное сечение, а плоскость $CDD_1$ — боковая грань. Линия их пересечения — боковое ребро $CC_1$.

Так как призма прямая, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.

В плоскости $ACC_1$ лежит диагональ $AC$, и $AC \perp CC_1$.

В плоскости $CDD_1$ лежит ребро $CD$, и $CD \perp CC_1$.

Угол между плоскостями равен углу между прямыми $AC$ и $CD$, то есть $\angle ACD$.

Угол $\angle BCD$ — это внутренний угол правильного шестиугольника, он равен $120^\circ$. Угол $\angle ACD$ является частью этого угла. Чтобы найти его, нужно из $\angle BCD$ вычесть $\angle BCA$.

Из решения пункта б) известно, что $\angle BCA = 30^\circ$.

Тогда $\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Плоскости $ACC_1$ и $BEE_1$ являются диагональными сечениями призмы. Так как оба сечения содержат боковые ребра и перпендикулярны плоскости основания, угол между ними равен углу между их следами на плоскости основания. След плоскости $ACC_1$ — это малая диагональ $AC$, а след плоскости $BEE_1$ — большая диагональ $BE$.

Задача сводится к нахождению угла между диагоналями $AC$ и $BE$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Воспользуемся координатным методом.

Поместим центр шестиугольника $O$ в начало координат $(0,0)$. Сторона шестиугольника и радиус описанной окружности равны 1. Расположим вершины в плоскости $xy$:

$A(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ)) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

$B(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ)) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

$C(\cos(0^\circ), \sin(0^\circ)) = (1, 0)$

$E(\cos(-120^\circ), \sin(-120^\circ)) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем направляющие векторы для прямых $AC$ и $BE$.

Для прямой $AC$: вектор $\vec{u} = \vec{AC} = C - A = (1 - (-\frac{1}{2}), 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для прямой $BE$: вектор $\vec{v} = \vec{BE} = E - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = (-1, -\sqrt{3})$.

Найдем угол между векторами через их скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\frac{3}{2}) \cdot (-1) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ перпендикулярны. Следовательно, прямые $AC$ и $BE$ также перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

Таким образом, угол между плоскостями $ACC_1$ и $BEE_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

48. Найдите косинус двугранного угла, образованного гранями правильного тетраэдра.

Правильный тетраэдр — это многогранник, все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Пусть сторона правильного тетраэдра $DABC$ равна $a$. Все ребра тетраэдра равны $a$.

Двугранный угол между гранями — это угол между двумя плоскостями. Чтобы найти его, нужно построить линейный угол, который его измеряет. Рассмотрим двугранный угол, образованный гранями $ABC$ и $DBC$. Эти две плоскости пересекаются по прямой (ребру) $BC$.

Для построения линейного угла проведем в каждой из граней перпендикуляр к общему ребру $BC$ из одной и той же точки.

1. В грани $ABC$, которая является равносторонним треугольником, проведем высоту (она же медиана и биссектриса) $AM$ к стороне $BC$. Точка $M$ будет серединой отрезка $BC$, и по определению высоты $AM \perp BC$.

2. В грани $DBC$, которая также является равносторонним треугольником, проведем высоту $DM$ к стороне $BC$. Так как $M$ — середина $BC$, $DM$ является высотой, и $DM \perp BC$.

Угол $\angle AMD$ является линейным углом двугранного угла между гранями $ABC$ и $DBC$. Обозначим этот угол как $\alpha$. Найдем косинус этого угла.

Рассмотрим треугольник $AMD$. Чтобы найти косинус угла $\alpha$, воспользуемся теоремой косинусов. Для этого нам нужно знать длины всех трех сторон треугольника $AMD$: $AM$, $DM$ и $AD$.

- $AD$ — это ребро тетраэдра, поэтому его длина равна $a$.

- $AM$ и $DM$ — это высоты в равносторонних треугольниках $ABC$ и $DBC$ со стороной $a$. Длина высоты в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \text{сторона}$.Следовательно, $AM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $AMD$:$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения длин сторон:$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\alpha)$

Упростим выражение:$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a \neq 0$):$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Теперь выразим $\cos(\alpha)$:$\frac{3}{2} \cdot \cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1$$\frac{3}{2} \cdot \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$$\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$$\cos(\alpha) = \frac{1}{3}$

Таким образом, косинус двугранного угла правильного тетраэдра равен $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

49. Найдите косинус двугранного угла, образованного соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадратное основание, а $S$ – вершина. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что $AB = BC = CD = DA = 1$ и $SA = SB = SC = SD = 1$.
Мы ищем косинус двугранного угла между соседними боковыми гранями, например, между гранями $SAB$ и $SBC$. Эти грани пересекаются по общему ребру $SB$.
Рассмотрим боковую грань $SAB$. Так как все ее стороны $SA$, $AB$ и $SB$ равны 1, то треугольник $SAB$ является равносторонним. Аналогично, грань $SBC$ (со сторонами $SB=BC=SC=1$) также является равносторонним треугольником.
Для нахождения двугранного угла между плоскостями $(SAB)$ и $(SBC)$ построим его линейный угол. Для этого в плоскости $(SAB)$ проведем высоту $AH$ к общему ребру $SB$. Так как $\triangle SAB$ – равносторонний со стороной 1, длина его высоты равна $AH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Аналогично, в плоскости $(SBC)$ проведем высоту $CH$ к общему ребру $SB$. Так как $\triangle SBC$ – равносторонний со стороной 1, длина его высоты равна $CH = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку треугольники $SAB$ и $SBC$ равны (по трем сторонам: $SA=SC=1$, $AB=BC=1$, $SB$ – общая), их высоты, проведенные к общей стороне $SB$, придут в одну и ту же точку $H$ на ребре $SB$.
Угол $\angle AHC$ является линейным углом искомого двугранного угла. Найдем косинус этого угла, рассмотрев треугольник $AHC$. Нам известны две его стороны: $AH = CH = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем третью сторону $AC$.
Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании. По теореме Пифагора для треугольника $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда $AC = \sqrt{2}$.
Теперь применим теорему косинусов для треугольника $AHC$:$AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos(\angle AHC)$
Подставим известные значения:
$(\sqrt{2})^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle AHC)$
$2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(\angle AHC)$
$2 = \frac{6}{4} - \frac{6}{4} \cdot \cos(\angle AHC)$
$2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle AHC)$
$2 - \frac{3}{2} = - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle AHC)$
$\frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle AHC)$
$\cos(\angle AHC) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$

50. Сколько различных векторов задают ребра параллелепипеда?

Параллелепипед — это трехмерная фигура, у которой 12 ребер. Эти ребра можно сгруппировать по направлениям. В параллелепипеде есть три группы по четыре параллельных и равных по длине ребра.

Векторы считаются равными (или одинаковыми), если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны. Местоположение начальной точки вектора не имеет значения.

Рассмотрим ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины. Они задают три некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) вектора. Обозначим их как $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

1. Первая группа из четырех параллельных ребер задает один и тот же вектор $\vec{a}$. Например, если $\vec{a} = \vec{AB}$, то векторы, соответствующие ребрам $DC$, $A_1B_1$ и $D_1C_1$, также будут равны вектору $\vec{a}$.
2. Вторая группа из четырех параллельных ребер задает вектор $\vec{b}$.
3. Третья группа из четырех параллельных ребер задает вектор $\vec{c}$.

Таким образом, мы уже имеем три различных вектора: $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Однако каждое ребро можно рассматривать как вектор, направленный в противоположную сторону. Для каждого из векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ существует противоположный ему вектор: $-\vec{a}$, $-\vec{b}$ и $-\vec{c}$.

• Вектор $-\vec{a}$ задается теми же четырьмя ребрами первой группы, но с противоположным направлением (например, вектор $\vec{BA}$).
• Вектор $-\vec{b}$ задается ребрами второй группы с противоположным направлением.
• Вектор $-\vec{c}$ задается ребрами третьей группы с противоположным направлением.

Эти три вектора ($-\vec{a}$, $-\vec{b}$, $-\vec{c}$) различны между собой и отличны от первых трех векторов. Таким образом, общее количество различных векторов, которые задают ребра параллелепипеда, равно $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.

51. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите длину вектора:

a) $\vec{AC_1}$;

б) $\vec{AD_1}$.

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна 1, и высота призмы (длина боковых ребер, например $AA_1$) также равна 1.

Длина вектора равна длине отрезка, соединяющего его начало и конец. Для нахождения длин искомых векторов воспользуемся теоремой Пифагора в пространстве.

а)

Чтобы найти длину вектора $\vec{AC_1}$, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $ACC_1$. Этот треугольник является прямоугольным, так как боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и диагонали $AC$.

Длина катета $CC_1$ равна длине бокового ребра, то есть $CC_1 = 1$.

Длину катета $AC$ найдем из основания. $AC$ — это малая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AB=BC=1$, а угол $\angle ABC$ как внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. По теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

Таким образом, $AC = \sqrt{3}$.

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $ACC_1$ находим длину гипотенузы $AC_1$, которая и является искомой длиной вектора $\vec{AC_1}$:

$|\vec{AC_1}|^2 = AC^2 + CC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{4} = 2$

Ответ: 2

б)

Чтобы найти длину вектора $\vec{AD_1}$, мы рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Этот треугольник является прямоугольным, так как боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, а значит, и диагонали $AD$.

Длина катета $DD_1$ равна длине бокового ребра, то есть $DD_1 = 1$.

Длину катета $AD$ найдем из основания. $AD$ — это большая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. Так как сторона нашего шестиугольника равна 1, то $AD = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $ADD_1$ находим длину гипотенузы $AD_1$, которая является искомой длиной вектора $\vec{AD_1}$:

$|\vec{AD_1}|^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$|\vec{AD_1}| = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

52. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

a) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$;

б) $\vec{AB_1} + \vec{AD_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD и ось Oz вдоль ребра AA₁. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

а) $\vec{AB} + \vec{AD}_1$

Сначала найдем координаты векторов в заданной системе координат. Координаты точек: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1). Вершина D₁ имеет координаты D₁(0; 1; 1), так как она получается сдвигом точки D по оси Oz на 1.

Координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}_1$ находятся как разность координат конца и начала вектора:

$\vec{AB} = (1-0; 0-0; 0-0) = (1; 0; 0)$

$\vec{AD}_1 = (0-0; 1-0; 1-0) = (0; 1; 1)$

Теперь найдем вектор суммы, сложив соответствующие координаты:

$\vec{AB} + \vec{AD}_1 = (1+0; 0+1; 0+1) = (1; 1; 1)$

Длина (модуль) вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Найдем длину полученного вектора:

$|\vec{AB} + \vec{AD}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$

Альтернативное решение: По правилу параллелограмма, вектор $\vec{AD}_1$ является суммой векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AA}_1$. Тогда исходное выражение можно переписать: $\vec{AB} + (\vec{AD} + \vec{AA}_1) = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA}_1$. Сумма этих трех векторов по правилу параллелепипеда равна вектору главной диагонали куба $\vec{AC}_1$. Длина главной диагонали единичного куба равна $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) $\vec{AB}_1 + \vec{AD}_1$

Воспользуемся той же системой координат. Найдем координаты точек, необходимых для вычисления векторов: A(0; 0; 0). Вершина B₁ получается сдвигом точки B(1; 0; 0) по оси Oz на 1, поэтому ее координаты B₁(1; 0; 1). Координаты вершины D₁ мы уже определили: D₁(0; 1; 1).

Найдем координаты векторов $\vec{AB}_1$ и $\vec{AD}_1$:

$\vec{AB}_1 = (1-0; 0-0; 1-0) = (1; 0; 1)$

$\vec{AD}_1 = (0-0; 1-0; 1-0) = (0; 1; 1)$

Найдем вектор суммы:

$\vec{AB}_1 + \vec{AD}_1 = (1+0; 0+1; 1+1) = (1; 1; 2)$

Теперь найдем длину результирующего вектора:

$|\vec{AB}_1 + \vec{AD}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

53. В кубе ABCD $A_1B_1C_1D_1$ выразите вектор $\overrightarrow{AC_1}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AA_1}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AC_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, представим вектор $\vec{AC_1}$ как сумму векторов по правилу многоугольника. Вектор $\vec{AC_1}$ является главной диагональю куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Мы можем попасть из точки A в точку $C_1$, двигаясь сначала по диагонали нижнего основания из A в C, а затем по боковому ребру из C в $C_1$. Согласно правилу треугольника для сложения векторов, имеем:

$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

Теперь необходимо выразить векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$ через заданные в условии векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании куба. По правилу параллелограмма (которое для векторов, выходящих из одной точки, совпадает с правилом треугольника), вектор диагонали равен сумме векторов, построенных на сторонах, выходящих из той же вершины:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его грань $ABCD$ является квадратом, а значит, и параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, построенные на них, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Заменяем $\vec{BC}$ на $\vec{AD}$ в выражении для $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

2. Вектор $\vec{CC_1}$ соответствует боковому ребру куба. Все боковые ребра куба параллельны и равны по длине, поэтому вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$:

$\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$

3. Теперь подставим полученные выражения для $\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$ в исходное равенство для $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC_1} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{AA_1}$

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Этот результат также известен как правило параллелепипеда: вектор, проведенный по главной диагонали параллелепипеда, равен сумме трех некомпланарных векторов, проведенных по его ребрам из той же вершины.

Ответ: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

54. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Выразите вектор $\vec{AD_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AF}$ и $\vec{AA_1}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AD_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AF}$ и $\vec{AA_1}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника). Представим вектор $\vec{AD_1}$ как сумму векторов, идущих по рёбрам и диагоналям призмы.
Вектор $\vec{AD_1}$ можно разложить на две составляющие: движение в плоскости основания из точки $A$ в точку $D$, и затем вертикальное движение из точки $D$ в точку $D_1$. Математически это записывается так:
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$
Рассмотрим каждый из векторов-слагаемых:
1. Вектор $\vec{DD_1}$ является боковым ребром правильной призмы. Все боковые рёбра в такой призме параллельны и равны. Следовательно, вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$.
$\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$
2. Вектор $\vec{AD}$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$, которое является правильным шестиугольником. Вектор $\vec{AD}$ — это большая диагональ этого шестиугольника. Пусть $O$ — центр шестиугольника. Центр правильного шестиугольника является серединой его больших диагоналей. Таким образом, точка $O$ — середина отрезка $AD$. Отсюда следует, что вектор $\vec{AD}$ в два раза длиннее вектора $\vec{AO}$ и сонаправлен с ним:
$\vec{AD} = 2\vec{AO}$
Теперь нам нужно выразить вектор $\vec{AO}$ через базисные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$. Для этого воспользуемся правилом сложения векторов, пройдя из точки $A$ в точку $O$ через точку $F$:
$\vec{AO} = \vec{AF} + \vec{FO}$
Поскольку основание призмы — правильный шестиугольник, и все рёбра призмы равны 1, треугольники, образованные центром $O$ и двумя соседними вершинами (например, $\triangle OAB$ и $\triangle OFA$), являются равносторонними со стороной 1. В правильном шестиугольнике вектор, соединяющий вершину с центром (например, $\vec{FO}$), равен вектору, образованному соседней стороной (в данном случае $\vec{AB}$). Геометрически векторы $\vec{FO}$ и $\vec{AB}$ параллельны, их длины равны 1, и они имеют одинаковое направление. Следовательно:
$\vec{FO} = \vec{AB}$
Подставим это равенство в выражение для $\vec{AO}$:
$\vec{AO} = \vec{AF} + \vec{AB}$
Теперь подставим полученное выражение для $\vec{AO}$ в формулу для $\vec{AD}$:
$\vec{AD} = 2\vec{AO} = 2(\vec{AB} + \vec{AF}) = 2\vec{AB} + 2\vec{AF}$
Наконец, соберём всё вместе в исходной формуле для $\vec{AD_1}$:
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = (2\vec{AB} + 2\vec{AF}) + \vec{AA_1}$
Таким образом, искомое разложение вектора имеет вид:
$\vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF} + \vec{AA_1}$
Ответ: $\vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF} + \vec{AA_1}$

55. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1.

Найдите угол между векторами $\vec{SA}$ и:

а) $\vec{BC}$;

б) $\vec{EF}$.

В данной задаче рассматривается правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной 1, а все боковые ребра ($SA, SB, SC, SD$) также равны 1. Следовательно, все боковые грани пирамиды ($SAB, SBC, SCD, SDA$) являются равносторонними треугольниками.

Угол между двумя векторами находится с помощью скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha$ или с помощью геометрических построений, совмещая начала векторов.

а) Найдем угол $\alpha$ между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.

В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$, поэтому стороны $BC$ и $AD$ параллельны и равны. Это означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Следовательно, угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$ равен углу между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AD}$.

Для нахождения угла между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AD}$ необходимо отложить их от одной точки. Рассмотрим векторы $\vec{AS}$ и $\vec{AD}$, которые выходят из точки $A$. Угол между ними — это плоский угол $\angle SAD$ при вершине $A$ в треугольнике $SAD$.

Поскольку все ребра пирамиды равны 1, боковая грань $SAD$ является равносторонним треугольником. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle SAD = 60^\circ$.

Вектор $\vec{SA}$ противоположен вектору $\vec{AS}$ (то есть $\vec{SA} = -\vec{AS}$). Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AD}$ является смежным с углом между векторами $\vec{AS}$ и $\vec{AD}$. Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен:

$\alpha = 180^\circ - \angle SAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

б) Найдем угол $\beta$ между векторами, упомянутыми в пункте б). Судя по всему, имеется ввиду пара векторов, одним из которых является $\vec{SA}$, а вторым - $\vec{EF}$.

В условии задачи на изображении не определены точки E и F. В подобных задачах E и F, как правило, являются серединами некоторых ребер. Будем исходить из наиболее распространенного варианта для такой постановки: E — середина ребра $SA$, а F — середина ребра $SC$.

Рассмотрим треугольник $SAC$. Так как E и F — середины сторон $SA$ и $SC$ соответственно, отрезок $EF$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, вектор $\vec{EF}$ параллелен вектору $\vec{AC}$ и сонаправлен с ним, а его длина в два раза меньше: $\vec{EF} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Поскольку векторы $\vec{EF}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены, угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{EF}$ равен углу между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AC}$.

Для нахождения этого угла рассмотрим векторы $\vec{AS}$ и $\vec{AC}$, выходящие из одной точки $A$. Угол между ними равен $\angle SAC$. Вектор $\vec{SA}$ противоположен вектору $\vec{AS}$, поэтому искомый угол $\beta$ будет равен $180^\circ - \angle SAC$.

Найдем величину угла $\angle SAC$ из треугольника $SAC$ с помощью теоремы косинусов. Нам известны длины всех его сторон: $SA = 1$ (по условию), $SC = 1$ (по условию), а $AC$ — это диагональ квадрата $ABCD$ со стороной 1. По теореме Пифагора, $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Применим теорему косинусов для треугольника $SAC$, чтобы найти косинус угла $\angle SAC$:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 - 2 \cdot SA \cdot AC \cdot \cos(\angle SAC)$

Подставим известные значения:

$1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle SAC)$

$1 = 1 + 2 - 2\sqrt{2} \cdot \cos(\angle SAC)$

$0 = 2 - 2\sqrt{2} \cdot \cos(\angle SAC)$

$2\sqrt{2} \cdot \cos(\angle SAC) = 2$

$\cos(\angle SAC) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следует, что $\angle SAC = 45^\circ$.

Тогда искомый угол $\beta$ между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AC}$ (а значит и $\vec{EF}$) равен:

$\beta = 180^\circ - \angle SAC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

56. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и:

а) $\vec{CC_1}$;

б) $\vec{CD_1}$;

в) $\vec{BC_1}$;

г) $\vec{BD_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Так как куб единичный, длина его ребра равна 1. Координаты вершин куба в этой системе будут следующими:

$A(0,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(1,1,0)$, $D(1,0,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(0,1,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(1,0,1)$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB_1}$, который является одним из множителей во всех подпунктах. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

$\vec{AB_1} = \{0-0, 1-0, 1-0\} = \{0, 1, 1\}$.

Теперь последовательно найдем скалярные произведения.

а) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{CC_1}$.

Сначала определим координаты вектора $\vec{CC_1}$:

$\vec{CC_1} = \{1-1, 1-1, 1-0\} = \{0, 0, 1\}$.

Теперь вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CC_1} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

б) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{CD_1}$.

Определим координаты вектора $\vec{CD_1}$:

$\vec{CD_1} = \{1-1, 0-1, 1-0\} = \{0, -1, 1\}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 - 1 + 1 = 0$.

Ответ: 0

в) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Определим координаты вектора $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = \{1-0, 1-1, 1-0\} = \{1, 0, 1\}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

г) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BD_1}$.

Определим координаты вектора $\vec{BD_1}$:

$\vec{BD_1} = \{1-0, 0-1, 1-0\} = \{1, -1, 1\}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 - 1 + 1 = 0$.

Ответ: 0

57. Вычислите работу, которую производит сила $\vec{F} = \vec{BD_1}$, перемещая объект из вершины С в вершину $C_1$ единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Работа $A$, производимая постоянной силой $\vec{F}$ при перемещении объекта на вектор $\vec{s}$, вычисляется как скалярное произведение этих векторов:$A = \vec{F} \cdot \vec{s}$

По условию задачи, сила $\vec{F}$ равна вектору $\vec{BD_1}$, а перемещение объекта происходит из вершины C в вершину C₁, следовательно, вектор перемещения $\vec{s}$ равен вектору $\vec{CC_1}$. Таким образом, искомая работа равна $A = \vec{BD_1} \cdot \vec{CC_1}$.

Для вычисления скалярного произведения векторов введем декартову систему координат. Поместим вершину A единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ в начало координат (0, 0, 0). Направим оси Ox, Oy и Oz вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

В этой системе координат вершины, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

• B = (1, 0, 0)
• C = (1, 1, 0)
• D₁ = (0, 1, 1)
• C₁ = (1, 1, 1)

Теперь найдем координаты векторов силы $\vec{F}$ и перемещения $\vec{s}$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек.

Координаты вектора силы $\vec{F} = \vec{BD_1}$:$\vec{F} = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (-1; 1; 1)$

Координаты вектора перемещения $\vec{s} = \vec{CC_1}$:$\vec{s} = (1 - 1; 1 - 1; 1 - 0) = (0; 0; 1)$

Вычислим работу $A$ как скалярное произведение векторов $\vec{F}$ и $\vec{s}$:$A = \vec{F} \cdot \vec{s} = F_x s_x + F_y s_y + F_z s_z$$A = (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$

Таким образом, работа, которую производит сила $\vec{F}$, равна 1.
Ответ: 1