Номер 52, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

52. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите длину вектора:

a) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$;

б) $\vec{AB_1} + \vec{AD_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD и ось Oz вдоль ребра AA₁. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

а) $\vec{AB} + \vec{AD}_1$

Сначала найдем координаты векторов в заданной системе координат. Координаты точек: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1). Вершина D₁ имеет координаты D₁(0; 1; 1), так как она получается сдвигом точки D по оси Oz на 1.

Координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}_1$ находятся как разность координат конца и начала вектора:

$\vec{AB} = (1-0; 0-0; 0-0) = (1; 0; 0)$

$\vec{AD}_1 = (0-0; 1-0; 1-0) = (0; 1; 1)$

Теперь найдем вектор суммы, сложив соответствующие координаты:

$\vec{AB} + \vec{AD}_1 = (1+0; 0+1; 0+1) = (1; 1; 1)$

Длина (модуль) вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Найдем длину полученного вектора:

$|\vec{AB} + \vec{AD}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$

Альтернативное решение: По правилу параллелограмма, вектор $\vec{AD}_1$ является суммой векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AA}_1$. Тогда исходное выражение можно переписать: $\vec{AB} + (\vec{AD} + \vec{AA}_1) = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA}_1$. Сумма этих трех векторов по правилу параллелепипеда равна вектору главной диагонали куба $\vec{AC}_1$. Длина главной диагонали единичного куба равна $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) $\vec{AB}_1 + \vec{AD}_1$

Воспользуемся той же системой координат. Найдем координаты точек, необходимых для вычисления векторов: A(0; 0; 0). Вершина B₁ получается сдвигом точки B(1; 0; 0) по оси Oz на 1, поэтому ее координаты B₁(1; 0; 1). Координаты вершины D₁ мы уже определили: D₁(0; 1; 1).

Найдем координаты векторов $\vec{AB}_1$ и $\vec{AD}_1$:

$\vec{AB}_1 = (1-0; 0-0; 1-0) = (1; 0; 1)$

$\vec{AD}_1 = (0-0; 1-0; 1-0) = (0; 1; 1)$

Найдем вектор суммы:

$\vec{AB}_1 + \vec{AD}_1 = (1+0; 0+1; 1+1) = (1; 1; 2)$

Теперь найдем длину результирующего вектора:

$|\vec{AB}_1 + \vec{AD}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$