Номер 57, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

57. Вычислите работу, которую производит сила $\vec{F} = \vec{BD_1}$, перемещая объект из вершины С в вершину $C_1$ единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Работа $A$, производимая постоянной силой $\vec{F}$ при перемещении объекта на вектор $\vec{s}$, вычисляется как скалярное произведение этих векторов:$A = \vec{F} \cdot \vec{s}$

По условию задачи, сила $\vec{F}$ равна вектору $\vec{BD_1}$, а перемещение объекта происходит из вершины C в вершину C₁, следовательно, вектор перемещения $\vec{s}$ равен вектору $\vec{CC_1}$. Таким образом, искомая работа равна $A = \vec{BD_1} \cdot \vec{CC_1}$.

Для вычисления скалярного произведения векторов введем декартову систему координат. Поместим вершину A единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ в начало координат (0, 0, 0). Направим оси Ox, Oy и Oz вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

В этой системе координат вершины, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

• B = (1, 0, 0)
• C = (1, 1, 0)
• D₁ = (0, 1, 1)
• C₁ = (1, 1, 1)

Теперь найдем координаты векторов силы $\vec{F}$ и перемещения $\vec{s}$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек.

Координаты вектора силы $\vec{F} = \vec{BD_1}$:$\vec{F} = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (-1; 1; 1)$

Координаты вектора перемещения $\vec{s} = \vec{CC_1}$:$\vec{s} = (1 - 1; 1 - 1; 1 - 0) = (0; 0; 1)$

Вычислим работу $A$ как скалярное произведение векторов $\vec{F}$ и $\vec{s}$:$A = \vec{F} \cdot \vec{s} = F_x s_x + F_y s_y + F_z s_z$$A = (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$

Таким образом, работа, которую производит сила $\vec{F}$, равна 1.
Ответ: 1