Номер 64, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

64. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами $(1; 0; 0)$, $(0; 2; 0)$, $(0; 0; 3)$.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки M₁(1; 0; 0), M₂(0; 2; 0) и M₃(0; 0; 3), можно использовать несколько способов.

Способ 1: Использование уравнения плоскости в отрезках.

Заметим, что данные точки являются точками пересечения плоскости с осями координат. Точка M₁(1; 0; 0) лежит на оси Ox, точка M₂(0; 2; 0) — на оси Oy, а точка M₃(0; 0; 3) — на оси Oz.

Уравнение плоскости, проходящей через точки $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$ и $(0; 0; c)$, называется уравнением плоскости в отрезках и имеет вид:$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 $

В нашем случае, отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, равны $a = 1$, $b = 2$ и $c = 3$. Подставим эти значения в формулу:$ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 $

Это уже является уравнением искомой плоскости. Для приведения его к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (1, 2, 3), то есть на 6:$ 6 \cdot \left( \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} \right) = 6 \cdot 1 $$ 6x + 3y + 2z = 6 $

Перенесем 6 в левую часть, чтобы получить общее уравнение плоскости:$ 6x + 3y + 2z - 6 = 0 $

Способ 2: Использование определителя.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки M₁($x_1, y_1, z_1$), M₂($x_2, y_2, z_2$) и M₃($x_3, y_3, z_3$), можно найти из условия компланарности векторов $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$, где M(x, y, z) — произвольная точка плоскости. Это условие выражается через смешанное произведение, равное нулю, что эквивалентно следующему определителю:$ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 $

Подставим координаты наших точек M₁(1; 0; 0), M₂(0; 2; 0), M₃(0; 0; 3):$ \begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z - 0 \\ 0 - 1 & 2 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 1 & 0 - 0 & 3 - 0 \end{vmatrix} = 0 $

Упростим матрицу:$ \begin{vmatrix} x - 1 & y & z \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 0 $

Раскроем определитель по первой строке:$ (x - 1) \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 $$ (x - 1)(2 \cdot 3 - 0 \cdot 0) - y(-1 \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) + z(-1 \cdot 0 - 2 \cdot (-1)) = 0 $$ (x - 1)(6) - y(-3) + z(2) = 0 $$ 6(x - 1) + 3y + 2z = 0 $$ 6x - 6 + 3y + 2z = 0 $$ 6x + 3y + 2z - 6 = 0 $

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $6x + 3y + 2z - 6 = 0$ или $ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 $.