Страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

58. Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ помещен в прямоугольную систему координат так, что началом координат является вершина $D$, ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат соответственно на осях абсцисс, ординат, аппликат. Найдите координаты всех вершин куба.

По условию задачи, мы имеем единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина каждого ребра куба равна 1. Куб помещен в прямоугольную систему координат, где начало координат находится в вершине $D$, а ребра $DC$, $DA$ и $DD_1$ лежат на осях $Ox$ (абсцисс), $Oy$ (ординат) и $Oz$ (аппликат) соответственно. Найдем координаты всех восьми вершин куба.

Вершина D
По условию, вершина $D$ является началом координат.
Ответ: $D(0, 0, 0)$.

Вершина A
Вершина $A$ лежит на оси ординат ($Oy$) на расстоянии 1 от начала координат. Следовательно, её координата по оси $y$ равна 1, а остальные координаты равны 0.
Ответ: $A(0, 1, 0)$.

Вершина C
Вершина $C$ лежит на оси абсцисс ($Ox$) на расстоянии 1 от начала координат. Следовательно, её координата по оси $x$ равна 1, а остальные координаты равны 0.
Ответ: $C(1, 0, 0)$.

Вершина D₁
Вершина $D_1$ лежит на оси аппликат ($Oz$) на расстоянии 1 от начала координат. Следовательно, её координата по оси $z$ равна 1, а остальные координаты равны 0.
Ответ: $D_1(0, 0, 1)$.

Вершина B
Вершина $B$ принадлежит нижнему основанию куба ($ABCD$) и лежит в плоскости $xy$. Чтобы попасть в точку $B$ из начала координат $D$, нужно сместиться по вектору $\vec{DB}$, который является суммой векторов $\vec{DA}$ и $\vec{DC}$.
$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC} = (0, 1, 0) + (1, 0, 0) = (1, 1, 0)$.
Таким образом, координаты вершины $B$ — это $(1, 1, 0)$.
Ответ: $B(1, 1, 0)$.

Вершина A₁
Вершина $A_1$ принадлежит грани $ADD_1A_1$ и лежит в плоскости $yz$. Чтобы попасть в точку $A_1$ из начала координат $D$, нужно сместиться по вектору $\vec{DA_1}$, который является суммой векторов $\vec{DA}$ и $\vec{DD_1}$.
$\vec{DA_1} = \vec{DA} + \vec{DD_1} = (0, 1, 0) + (0, 0, 1) = (0, 1, 1)$.
Таким образом, координаты вершины $A_1$ — это $(0, 1, 1)$.
Ответ: $A_1(0, 1, 1)$.

Вершина C₁
Вершина $C_1$ принадлежит грани $CDD_1C_1$ и лежит в плоскости $xz$. Чтобы попасть в точку $C_1$ из начала координат $D$, нужно сместиться по вектору $\vec{DC_1}$, который является суммой векторов $\vec{DC}$ и $\vec{DD_1}$.
$\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{DD_1} = (1, 0, 0) + (0, 0, 1) = (1, 0, 1)$.
Таким образом, координаты вершины $C_1$ — это $(1, 0, 1)$.
Ответ: $C_1(1, 0, 1)$.

Вершина B₁
Вершина $B_1$ является диагонально противоположной вершине $D$. Чтобы попасть в точку $B_1$ из начала координат $D$, нужно сместиться по вектору $\vec{DB_1}$, который является суммой трех векторов, исходящих из вершины $D$ вдоль ребер: $\vec{DA}$, $\vec{DC}$ и $\vec{DD_1}$.
$\vec{DB_1} = \vec{DA} + \vec{DC} + \vec{DD_1} = (0, 1, 0) + (1, 0, 0) + (0, 0, 1) = (1, 1, 1)$.
Таким образом, координаты вершины $B_1$ — это $(1, 1, 1)$.
Ответ: $B_1(1, 1, 1)$.

59. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, вершина A — начало координат, отрезки $AB$, $AE$, $AA_1$ лежат соответственно на осях абсцисс, ординат, аппликат. Найдите координаты вершин этой призмы.

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1. Согласно условию, введем систему координат:

1. Вершина $A$ — начало координат. Следовательно, ее координаты $A(0, 0, 0)$.

2. Отрезок $AA_1$ лежит на оси аппликат ($Oz$). Так как длина ребра $AA_1$ равна 1, то координаты вершины $A_1$ равны $A_1(0, 0, 1)$. Это означает, что нижнее основание призмы ($ABCDEF$) лежит в плоскости $z=0$, а верхнее основание ($A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) — в плоскости $z=1$.

3. Отрезок $AB$ лежит на оси абсцисс ($Ox$). Так как длина ребра $AB$ равна 1, координаты вершины $B$ равны $B(1, 0, 0)$.

4. Отрезок $AE$ лежит на оси ординат ($Oy$). В правильном шестиугольнике со стороной $s$ малая диагональ (проходящая через одну вершину, как $AE$) имеет длину $s\sqrt{3}$. В нашем случае $s=1$, поэтому длина $AE$ равна $\sqrt{3}$. Следовательно, координаты вершины $E$ равны $E(0, \sqrt{3}, 0)$.

Теперь найдем координаты остальных вершин нижнего основания, лежащих в плоскости $z=0$.

Вершина $F$ является соседней к $A$, поэтому длина стороны $|AF|=1$. Угол между смежными сторонами в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$, то есть $\angle FAB = 120^\circ$. Пусть $F$ имеет координаты $(x, y, 0)$. Вектор $\vec{AB} = (1, 0, 0)$, а вектор $\vec{AF} = (x, y, 0)$.
Их скалярное произведение: $\vec{AF} \cdot \vec{AB} = |\vec{AF}| |\vec{AB}| \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.
С другой стороны, $\vec{AF} \cdot \vec{AB} = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x$.
Отсюда получаем $x = -\frac{1}{2}$.
Из условия $|AF|=1$ имеем $x^2 + y^2 = 1$. Подставляя $x$, получаем $(-\frac{1}{2})^2 + y^2 = 1$, что дает $y^2 = \frac{3}{4}$. Так как шестиугольник выпуклый и вершина $E(0, \sqrt{3}, 0)$ имеет положительную ординату, выбираем положительное значение $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, координаты вершины $F(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Центр правильного шестиугольника $O_h$ является серединой его больших диагоналей (например, $BE$, $CF$, $AD$). Найдем координаты центра как середину отрезка $BE$:
$O_h = (\frac{x_B+x_E}{2}, \frac{y_B+y_E}{2}, 0) = (\frac{1+0}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Используя свойство центра, найдем координаты вершин $C$ и $D$:
$C = 2 O_h - F = 2(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) - (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (1, \sqrt{3}, 0) - (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$D = 2 O_h - A = 2(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) - (0, 0, 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$.

Координаты вершин верхнего основания получаются путем прибавления вектора трансляции $\vec{AA_1} = (0, 0, 1)$ к координатам соответствующих вершин нижнего основания.

Ответ:
Координаты вершин нижнего основания:
$A(0, 0, 0)$
$B(1, 0, 0)$
$C(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D(1, \sqrt{3}, 0)$
$E(0, \sqrt{3}, 0)$
$F(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
Координаты вершин верхнего основания:
$A_1(0, 0, 1)$
$B_1(1, 0, 1)$
$C_1(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$D_1(1, \sqrt{3}, 1)$
$E_1(0, \sqrt{3}, 1)$
$F_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

60. Найдите расстояние от точки $A(1; 2; 3)$ до координатной прямой:

а) $Ox$;

б) $Oy$;

в) $Oz$.

а) Ox;
Расстояние от точки в пространстве до координатной оси — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось. Для точки $A(x_A; y_A; z_A)$ и оси абсцисс (Ox) основанием перпендикуляра будет точка $P_x$ с координатами $(x_A; 0; 0)$.
В нашем случае, дана точка $A(1; 2; 3)$. Её проекция на ось Ox — это точка $P_x(1; 0; 0)$.
Расстояние между точками $A(1; 2; 3)$ и $P_x(1; 0; 0)$ находится по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.
Подставим координаты точек A и $P_x$: $d(A, Ox) = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 4 + 9} = \sqrt{13}$.
В общем виде, расстояние от точки $(x; y; z)$ до оси Ox равно $\sqrt{y^2 + z^2}$.
Ответ: $\sqrt{13}$.

б) Oy;
Аналогично, для нахождения расстояния от точки $A(1; 2; 3)$ до оси ординат (Oy), найдем её проекцию на эту ось. Проекцией будет точка $P_y(0; 2; 0)$.
Теперь вычислим расстояние между точками $A(1; 2; 3)$ и $P_y(0; 2; 0)$:
$d(A, Oy) = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 0 + 9} = \sqrt{10}$.
В общем виде, расстояние от точки $(x; y; z)$ до оси Oy равно $\sqrt{x^2 + z^2}$.
Ответ: $\sqrt{10}$.

в) Oz.
Для нахождения расстояния от точки $A(1; 2; 3)$ до оси аппликат (Oz), найдем её проекцию на эту ось. Проекцией будет точка $P_z(0; 0; 3)$.
Вычислим расстояние между точками $A(1; 2; 3)$ и $P_z(0; 0; 3)$:
$d(A, Oz) = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}$.
В общем виде, расстояние от точки $(x; y; z)$ до оси Oz равно $\sqrt{x^2 + y^2}$.
Ответ: $\sqrt{5}$.

61. Напишите уравнение сферы с центром в точке $A(1; 2; 2)$, проходя-щей через начало координат.

61. Каноническое уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет следующий вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр сферы находится в точке $A(1; 2; 2)$. Это означает, что координаты центра сферы: $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $z_0 = 2$.

Также известно, что сфера проходит через начало координат, то есть через точку $O(0; 0; 0)$. Радиус сферы $R$ представляет собой расстояние от ее центра $A$ до любой точки на сфере, в данном случае до точки $O$.

Вычислим радиус $R$ как расстояние между точками $A(1; 2; 2)$ и $O(0; 0; 0)$ по формуле расстояния в трехмерном пространстве:
$R = \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2 + (z_A - z_O)^2}$
Подставим координаты точек:
$R = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

Итак, мы определили радиус сферы: $R = 3$.

Теперь, зная координаты центра $A(1; 2; 2)$ и радиус $R = 3$, мы можем записать искомое уравнение сферы, подставив эти значения в каноническую формулу:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 3^2$
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 9$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 9$

62. Докажите, что уравнение $x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 4 = 0$ задает сферу в пространстве. Найдите ее радиус и координаты центра.

Чтобы доказать, что данное уравнение задает сферу, необходимо привести его к каноническому виду уравнения сферы: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус сферы.

Исходное уравнение: $x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 4 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и применим метод выделения полного квадрата.

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + z^2 - 4 = 0$

Для группы с $x$: чтобы получить полный квадрат $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$, нам нужно добавить и вычесть $(4/2)^2 = 2^2 = 4$.

$x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4$

Для группы с $y$: чтобы получить полный квадрат $(y+b)^2 = y^2 + 2by + b^2$, нам нужно добавить и вычесть $(2/2)^2 = 1^2 = 1$.

$y^2 + 2y = (y^2 + 2y + 1) - 1 = (y + 1)^2 - 1$

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное уравнение:

$((x - 2)^2 - 4) + ((y + 1)^2 - 1) + z^2 - 4 = 0$

Перенесем все числовые константы в правую часть уравнения:

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 4 + 1 + 4$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 9$

Полученное уравнение является каноническим уравнением сферы. Это доказывает, что исходное уравнение действительно задает сферу в пространстве.

Сравнивая полученное уравнение с эталонным $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, мы можем определить координаты центра и радиус:

Центр сферы имеет координаты $(x_0, y_0, z_0)$. Из уравнения $(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 0)^2 = 9$ следует, что центр находится в точке $(2, -1, 0)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 9$. Следовательно, радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: уравнение задает сферу, так как его можно привести к каноническому виду $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 9$. Центр сферы находится в точке с координатами $(2, -1, 0)$, а ее радиус равен $3$.

63. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a_1}(1; 2; 3)$ и $\vec{a_2}(3; -1; 2)$.

64. Н

63. Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений их соответствующих координат. Для векторов $\vec{a_1}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a_2}(x_2; y_2; z_2)$ формула скалярного произведения имеет вид:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

В нашем случае даны векторы $\vec{a_1}(1; 2; 3)$ и $\vec{a_2}(3; -1; 2)$.

Подставим координаты этих векторов в формулу:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2$

Теперь вычислим значение выражения:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 3 - 2 + 6 = 7$

Таким образом, скалярное произведение данных векторов равно 7.

Ответ: 7

64. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами $(1; 0; 0)$, $(0; 2; 0)$, $(0; 0; 3)$.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки M₁(1; 0; 0), M₂(0; 2; 0) и M₃(0; 0; 3), можно использовать несколько способов.

Способ 1: Использование уравнения плоскости в отрезках.

Заметим, что данные точки являются точками пересечения плоскости с осями координат. Точка M₁(1; 0; 0) лежит на оси Ox, точка M₂(0; 2; 0) — на оси Oy, а точка M₃(0; 0; 3) — на оси Oz.

Уравнение плоскости, проходящей через точки $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$ и $(0; 0; c)$, называется уравнением плоскости в отрезках и имеет вид:$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 $

В нашем случае, отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, равны $a = 1$, $b = 2$ и $c = 3$. Подставим эти значения в формулу:$ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 $

Это уже является уравнением искомой плоскости. Для приведения его к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (1, 2, 3), то есть на 6:$ 6 \cdot \left( \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} \right) = 6 \cdot 1 $$ 6x + 3y + 2z = 6 $

Перенесем 6 в левую часть, чтобы получить общее уравнение плоскости:$ 6x + 3y + 2z - 6 = 0 $

Способ 2: Использование определителя.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки M₁($x_1, y_1, z_1$), M₂($x_2, y_2, z_2$) и M₃($x_3, y_3, z_3$), можно найти из условия компланарности векторов $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$, где M(x, y, z) — произвольная точка плоскости. Это условие выражается через смешанное произведение, равное нулю, что эквивалентно следующему определителю:$ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 $

Подставим координаты наших точек M₁(1; 0; 0), M₂(0; 2; 0), M₃(0; 0; 3):$ \begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z - 0 \\ 0 - 1 & 2 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 1 & 0 - 0 & 3 - 0 \end{vmatrix} = 0 $

Упростим матрицу:$ \begin{vmatrix} x - 1 & y & z \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 0 $

Раскроем определитель по первой строке:$ (x - 1) \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 $$ (x - 1)(2 \cdot 3 - 0 \cdot 0) - y(-1 \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) + z(-1 \cdot 0 - 2 \cdot (-1)) = 0 $$ (x - 1)(6) - y(-3) + z(2) = 0 $$ 6(x - 1) + 3y + 2z = 0 $$ 6x - 6 + 3y + 2z = 0 $$ 6x + 3y + 2z - 6 = 0 $

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $6x + 3y + 2z - 6 = 0$ или $ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 $.