Страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.3 На рисунке 1.10 укажите параллелепипеды.

а)

б)

в)

Рис. 1.10

Для того чтобы определить, какие из фигур являются параллелепипедами, воспользуемся определением. Параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них является параллелограммом. Рассмотрим каждую фигуру на рисунке 1.10.

а) Фигура на этом рисунке является многогранником, который ограничен шестью гранями. Все его грани — это параллелограммы. Противоположные грани попарно параллельны и равны. Следовательно, данная фигура полностью соответствует определению параллелепипеда (в данном случае, это наклонный параллелепипед).

б) Фигура на этом рисунке также представляет собой многогранник с шестью гранями. Все его грани — прямоугольники. Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма (у которого все углы прямые), эта фигура также является параллелепипедом. Такой вид параллелепипеда называют прямоугольным.

в) Фигура на этом рисунке не является параллелепипедом. По определению, у параллелепипеда должно быть ровно $6$ граней. Данный многогранник имеет больше шести граней (в частности, $10$ граней). Это сложное тело, которое можно рассматривать как объединение двух прямоугольных параллелепипедов, но само по себе оно не является параллелепипедом.

Ответ: параллелепипедами являются фигуры, изображенные на рисунках а) и б).

1.4 На рисунке 1.11 укажите призмы.

а)

б)

в)

Рис. 1.11

Призма — это многогранник, у которого две грани, называемые основаниями, являются равными многоугольниками, которые лежат в параллельных плоскостях. Остальные грани, называемые боковыми, являются параллелограммами, соединяющими соответствующие стороны оснований.

Проанализируем каждую фигуру на рисунке:

a) Этот многогранник имеет два равных основания в форме пятиугольника, которые расположены в параллельных плоскостях. Его боковые грани являются параллелограммами, соединяющими стороны оснований. Следовательно, эта фигура является призмой (пятиугольной призмой).

б) Этот многогранник также является призмой. У него есть два равных основания в форме Г-образного многоугольника (невыпуклого шестиугольника), которые лежат в параллельных плоскостях. Боковые грани также являются параллелограммами. Следовательно, эта фигура соответствует определению призмы.

в) Этот многогранник не является призмой. Он не имеет двух параллельных и равных

1.5. На рисунке 1.12 найдите фигуры, которые являются развертками призм. Определите вид этих призм.

Для решения данной задачи необходимо проанализировать фигуры, представленные на рисунке 1.12. Поскольку в предоставленном вами материале содержится только текст задачи, а сам рисунок отсутствует, невозможно указать конкретные фигуры. Однако можно дать развернутое объяснение, как определить, является ли фигура разверткой призмы, и как установить ее вид.

Развертка призмы — это плоская фигура, состоящая из многоугольников, которую можно сложить в трехмерную призму. Чтобы идентифицировать развертку призмы, нужно проверить следующие признаки:

1. Наличие двух оснований: Развертка должна содержать два одинаковых (конгруэнтных) многоугольника. Эти фигуры будут являться верхним и нижним основаниями призмы.

2. Наличие боковых граней: Развертка должна включать в себя боковую поверхность, которая состоит из нескольких четырехугольников (для прямой призмы это будут прямоугольники, для наклонной — параллелограммы). Количество этих четырехугольников должно быть равно количеству сторон у многоугольника в основании. Например, у развертки треугольной призмы должно быть 3 боковые грани-четырехугольника.

3. Правильное расположение фигур: Основания и боковые грани должны быть расположены так, чтобы при сворачивании фигуры не происходило перекрытия граней. Обычно два основания примыкают к разным сторонам "ленты" из боковых граней.

После того как установлено, что фигура является разверткой призмы, ее вид определяется по форме многоугольника в основании:

• Если основания — треугольники, это треугольная призма.
• Если основания — четырехугольники, это четырехугольная призма.
• Если основания — пятиугольники, это пятиугольная призма.
• И так далее по числу углов в многоугольнике основания.

Для получения ответа на ваш вопрос, пожалуйста, примените данный алгоритм к каждой фигуре на рисунке 1.12.

Ответ: Предоставить точное решение невозможно без изображения рисунка 1.12. Выше изложен общий метод для определения разверток призм и их вида.

16. Найдите диагональ куба, ребра которого равны 1.

Для нахождения диагонали куба можно дважды применить теорему Пифагора. Пусть ребро куба равно $a$. В нашем случае $a = 1$.

Шаг 1: Нахождение диагонали грани куба.

Грань куба является квадратом со стороной $a$. Диагональ грани (обозначим ее $d_1$), вместе с двумя ребрами этой грани, образует прямоугольный треугольник, где диагональ является гипотенузой, а ребра — катетами. По теореме Пифагора:

$d_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Подставим значение $a=1$:

$d_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Следовательно, диагональ грани равна $d_1 = \sqrt{2}$.

Шаг 2: Нахождение диагонали куба.

Теперь рассмотрим другой прямоугольный треугольник. Его катетами будут диагональ грани $d_1$, которую мы только что нашли, и боковое ребро куба $a$. Гипотенузой этого треугольника будет искомая диагональ куба (обозначим ее $d$).

Снова применяем теорему Пифагора:

$d^2 = d_1^2 + a^2$

Подставим известные значения $d_1^2 = 2$ и $a = 1$:

$d^2 = 2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$

Отсюда находим диагональ куба:

$d = \sqrt{3}$

Также можно воспользоваться готовой формулой для диагонали куба с ребром $a$: $d = a\sqrt{3}$. При $a=1$ получаем $d = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

1.7. Найтите диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 2, 3, 4.

1.7. Для нахождения диагонали прямоугольного параллелепипеда используется формула, которая связывает диагональ с тремя его измерениями (длиной, шириной и высотой). Квадрат диагонали ($d$) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его ребер ($a, b, c$).

Формула выглядит так:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Отсюда, длина диагонали вычисляется как:

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Согласно условию задачи, ребра параллелепипеда равны 2, 3 и 4. Подставим эти значения в формулу:

$a = 2$

$b = 3$

$c = 4$

$d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2}$

Теперь выполним вычисления:

$d = \sqrt{4 + 9 + 16}$

$d = \sqrt{29}$

Поскольку 29 — простое число, корень из него не извлекается.

Ответ: $\sqrt{29}$.

1.8 Боковое ребро призмы равно 2 и составляет с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите высоту этой призмы.

а)

б)

в)

г)

Рис. 1.12

Пусть $l$ — это длина бокового ребра призмы, а $h$ — её высота. Угол между боковым ребром и плоскостью основания обозначим как $\alpha$. Согласно условию задачи, нам даны значения: $l = 2$ и $\alpha = 30^\circ$.

Высота призмы $h$ представляет собой перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания. Если мы рассмотрим боковое ребро $l$, его проекцию на плоскость основания и высоту призмы $h$, то эти три отрезка образуют прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике:

• боковое ребро $l$ является гипотенузой;
• высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$;
• проекция бокового ребра на плоскость основания является катетом, прилежащим к углу $\alpha$.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике определяется тригонометрическими функциями. В нашем случае, синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета ($h$) к гипотенузе ($l$):

$\sin(\alpha) = \frac{h}{l}$

Из этой формулы мы можем выразить высоту $h$:

$h = l \cdot \sin(\alpha)$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$h = 2 \cdot \sin(30^\circ)$

Значение синуса угла $30^\circ$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

$h = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Таким образом, высота призмы составляет 1.

Ответ: 1