Страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на длину апофемы, т.е. имеет место формула:

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}(p + p_1)l,$

где $p$ и $p_1$ — периметры оснований усеченной пирамиды, а $l$ — ее апофема.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Доказательство:

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды состоит из $n$ равных (конгруэнтных) равнобедренных трапеций, где $n$ — количество сторон многоугольника, лежащего в основании.

Пусть стороны оснований пирамиды равны $a$ (нижнее основание) и $a_1$ (верхнее основание). Эти стороны одновременно являются основаниями для каждой из боковых трапеций. Апофема усеченной пирамиды $l$ по определению является высотой каждой из этих трапеций.

Площадь одной такой трапеции, обозначим ее $S_{гр}$, находится по формуле площади трапеции (произведение полусуммы оснований на высоту):

$S_{гр} = \frac{a + a_1}{2} \cdot l$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ всей усеченной пирамиды равна сумме площадей всех ее $n$ боковых граней. Так как все грани равны, то:

$S_{бок} = n \cdot S_{гр} = n \cdot \frac{a + a_1}{2} \cdot l$

Преобразуем это выражение:

$S_{бок} = \frac{n \cdot (a + a_1)}{2} \cdot l = \frac{na + na_1}{2} \cdot l$

Периметр $p$ нижнего основания — это правильный $n$-угольник со стороной $a$, следовательно, его периметр равен $p = n \cdot a$.

Периметр $p_1$ верхнего основания — это правильный $n$-угольник со стороной $a_1$, его периметр равен $p_1 = n \cdot a_1$.

Теперь подставим выражения для периметров $p$ и $p_1$ в полученную формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{p + p_1}{2} \cdot l$

Это и есть формула, которую требовалось доказать. Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Доказано, что площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на длину апофемы и вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(p + p_1)l$.