Страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.32. Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.

В качестве примера невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками, рассмотрим тело, которое получается при «вырезании» из большого прямоугольного параллелепипеда другого, соосного с ним, параллелепипеда меньшего размера. Такой объект можно представить как кирпич со сквозным прямоугольным отверстием или толстую раму для картины.

Убедимся, что этот многогранник удовлетворяет условиям.
Во-первых, все его грани являются выпуклыми. Поверхность этого тела состоит из внешних граней (6 граней большого параллелепипеда) и внутренних граней (6 граней малого параллелепипеда, образующих стенки отверстия). Все эти 12 граней являются прямоугольниками, а любой прямоугольник — это выпуклый многоугольник.

Во-вторых, сам многогранник не является выпуклым. Многогранник считается невыпуклым, если можно найти две принадлежащие ему точки, отрезок между которыми не полностью содержится в этом многограннике. Возьмем две точки $A$ и $B$ на противоположных сторонах «рамы». Отрезок $AB$, соединяющий эти точки, с необходимостью пересечет пустое пространство внутри отверстия и, следовательно, не будет целиком принадлежать многограннику.

Другим известным примером является звездчатый октаэдр (лат. stella octangula). Он представляет собой тело, образованное объединением двух одинаковых правильных тетраэдров, центры которых совпадают. Поверхность этого многогранника состоит из 8 треугольных граней. Все грани-треугольники выпуклы, однако само тело имеет восемь «шипов» и восемь «впадин» и является невыпуклым.

Ответ: Прямоугольный параллелепипед со сквозным прямоугольным отверстием.

1.33. Попробуйте определить понятие пирамиды. Из каких многоугольников состоит ее поверхность?

Попробуйте определить понятие пирамиды

Пирамида — это многогранник, который образован соединением всех вершин плоского многоугольника (основания) с точкой (вершиной пирамиды), не лежащей в плоскости этого многоугольника. Иными словами, пирамида представляет собой тело, ограниченное основанием и треугольными боковыми гранями, сходящимися в общей вершине.

Элементы пирамиды:

• Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
• Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.
• Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды.
• Боковые рёбра — общие стороны боковых граней.
• Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания.

Ответ: Пирамида — это многогранник, основанием которого является многоугольник, а все остальные грани (боковые грани) — это треугольники, имеющие общую вершину.

Из каких многоугольников состоит ее поверхность?

Поверхность пирамиды, или её развёртка на плоскости, состоит из нескольких многоугольников. Эти многоугольники можно разделить на два типа:

1. Основание: Это один многоугольник, форма которого определяет название пирамиды (например, треугольная, четырехугольная, шестиугольная пирамида). Если в основании лежит $n$-угольник, то пирамида называется $n$-угольной.

2. Боковые грани: Это всегда треугольники. Их вершины сходятся в одной точке — вершине пирамиды. Количество боковых граней равно количеству сторон многоугольника, лежащего в основании. Например, у четырехугольной пирамиды боковая поверхность состоит из четырех треугольников.

Таким образом, полная поверхность пирамиды с $n$-угольным основанием состоит из одного $n$-угольника и $n$ треугольников.

Ответ: Поверхность пирамиды состоит из одного многоугольника (основания) и нескольких треугольников (боковых граней), число которых равно числу сторон основания.