Номер 1.32, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.32. Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.

В качестве примера невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками, рассмотрим тело, которое получается при «вырезании» из большого прямоугольного параллелепипеда другого, соосного с ним, параллелепипеда меньшего размера. Такой объект можно представить как кирпич со сквозным прямоугольным отверстием или толстую раму для картины.

Убедимся, что этот многогранник удовлетворяет условиям.
Во-первых, все его грани являются выпуклыми. Поверхность этого тела состоит из внешних граней (6 граней большого параллелепипеда) и внутренних граней (6 граней малого параллелепипеда, образующих стенки отверстия). Все эти 12 граней являются прямоугольниками, а любой прямоугольник — это выпуклый многоугольник.

Во-вторых, сам многогранник не является выпуклым. Многогранник считается невыпуклым, если можно найти две принадлежащие ему точки, отрезок между которыми не полностью содержится в этом многограннике. Возьмем две точки $A$ и $B$ на противоположных сторонах «рамы». Отрезок $AB$, соединяющий эти точки, с необходимостью пересечет пустое пространство внутри отверстия и, следовательно, не будет целиком принадлежать многограннику.

Другим известным примером является звездчатый октаэдр (лат. stella octangula). Он представляет собой тело, образованное объединением двух одинаковых правильных тетраэдров, центры которых совпадают. Поверхность этого многогранника состоит из 8 треугольных граней. Все грани-треугольники выпуклы, однако само тело имеет восемь «шипов» и восемь «впадин» и является невыпуклым.

Ответ: Прямоугольный параллелепипед со сквозным прямоугольным отверстием.