Номер 1.27, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.27 На рисунке 1.22 укажите выпуклые и невыпуклые многогранники.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Рис. 1.22

Для определения выпуклости многогранника используется следующее правило: многогранник является выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней. Если существует хотя бы одна грань, плоскость которой разрезает многогранник на части, то он является невыпуклым. Также, многогранник выпуклый, если любой отрезок, соединяющий две его внутренние точки, полностью содержится внутри этого многогранника.

а) Данный многогранник, составленный из шести кубов, является невыпуклым. У него есть "впадины" или внутренние углы. Например, если провести плоскость через грань центрального куба, к которой примыкает один из боковых кубов, то многогранник окажется по обе стороны от этой плоскости. Также можно соединить отрезком центры двух противоположных боковых кубов, и этот отрезок частично пройдет вне многогранника.
Ответ: невыпуклый многогранник.

б) Эта фигура (звёздчатый октаэдр, или соединение двух тетраэдров) является невыпуклым многогранником. Несмотря на то что его выпуклой оболочкой является куб, сама фигура имеет "впадины" между своими "лучами". Отрезок, соединяющий точки на двух разных "лучах", может выходить за пределы тела многогранника.
Ответ: невыпуклый многогранник.

в) Пятиугольная призма является выпуклым многогранником. Она полностью лежит по одну сторону от плоскости любой из своих граней (двух пятиугольных оснований и пяти боковых прямоугольников). Любой отрезок, соединяющий две точки внутри призмы, целиком ей принадлежит.
Ответ: выпуклый многогранник.

г) Наклонный параллелепипед является выпуклым многогранником. Как и любая призма или параллелепипед, он удовлетворяет определению выпуклого тела: для плоскости любой его грани весь многогранник находится по одну сторону от нее.
Ответ: выпуклый многогранник.

д) Представленный многогранник является выпуклым. У него нет "впадин" или вогнутых частей. Он полностью расположен по одну сторону от плоскости любой из своих граней.
Ответ: выпуклый многогранник.

е) L-образная фигура — это классический пример невыпуклого многогранника. У этого тела есть внутренний двугранный угол, величина которого превышает $180^\circ$. Если провести плоскость через одну из граней, образующих этот "входящий" угол, то она разделит многогранник на две части, которые окажутся по разные стороны от нее.
Ответ: невыпуклый многогранник.