Номер 1.28, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.28 В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см (рис. 1.23). Найдите площадь поверхности оставшейся части.

Рис. 1.23

Рис. 1.24

Для решения задачи необходимо найти общую площадь поверхности получившейся фигуры. Эта площадь состоит из двух частей: площади внешней поверхности куба с вырезанными отверстиями и площади внутренней поверхности, образованной стенками сквозных отверстий.

1. Найдем площадь внешней поверхности.

Изначальная площадь поверхности куба с ребром $a = 6$ см вычисляется по формуле:

$S_{куба} = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 6^2 = 6 \cdot 36 = 216 \text{ см}^2$.

В каждой из шести граней проделано квадратное отверстие со стороной $b = 2$ см. Площадь одного такого отверстия равна:

$S_{отв} = b^2 = 2^2 = 4 \text{ см}^2$.

Так как отверстий шесть, общая площадь, вырезанная из внешней поверхности куба, составляет:

$S_{вырез} = 6 \cdot S_{отв} = 6 \cdot 4 = 24 \text{ см}^2$.

Следовательно, оставшаяся площадь внешней поверхности фигуры равна:

$S_{внешн} = S_{куба} - S_{вырез} = 216 - 24 = 192 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь внутренней поверхности.

Три сквозных квадратных туннеля проходят через куб перпендикулярно друг другу и пересекаются в его центре. Область их пересечения представляет собой куб с ребром 2 см, который является центральной полостью.

Внутренняя поверхность состоит из стенок шести каналов, которые соединяют эту центральную полость с отверстиями на гранях куба. Каждый такой канал представляет собой прямой параллелепипед с квадратным основанием $2 \times 2$ см.

Длина каждого канала равна половине разности между длиной ребра куба и стороной центральной полости: $L = (6 - 2) / 2 = 2$ см. Таким образом, каждый из шести каналов является кубом с ребром 2 см.

Площадь боковой поверхности одного такого канала (без учета оснований, так как одно открыто в центральную полость, а другое — наружу) состоит из четырех квадратных стенок $2 \times 2$ см. Площадь внутренней поверхности одного канала равна:

$S_{канала} = 4 \cdot b^2 = 4 \cdot 2^2 = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2$.

Поскольку таких каналов шесть (по одному от каждой грани к центру), общая площадь внутренней поверхности равна:

$S_{внутр} = 6 \cdot S_{канала} = 6 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$.

3. Найдем общую площадь поверхности.

Общая площадь поверхности оставшейся части куба — это сумма площади внешней и внутренней поверхностей:

$S_{полная} = S_{внешн} + S_{внутр} = 192 + 96 = 288 \text{ см}^2$.

Ответ: $288 \text{ см}^2$.