Номер 1.21, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.21 Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.16.

а)

б)

Рис. 1.16

a) Для нахождения площади поверхности детали разделим ее на два прямоугольных параллелепипеда. Первый, нижний блок, имеет размеры: длина $a_1 = 2$, ширина $b_1 = 2$ и высота $c_1 = 1$. Второй, верхний блок, имеет размеры: длина $a_2 = 1$, ширина $b_2 = 2$ и высота $c_2 = 1$. Верхний блок расположен на левой части нижнего блока.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$.
Найдем площадь поверхности нижнего блока:
$S_1 = 2(a_1 b_1 + a_1 c_1 + b_1 c_1) = 2(2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2(4 + 2 + 2) = 2 \cdot 8 = 16$.
Найдем площадь поверхности верхнего блока:
$S_2 = 2(a_2 b_2 + a_2 c_2 + b_2 c_2) = 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2(2 + 1 + 2) = 2 \cdot 5 = 10$.
При соединении двух блоков часть их поверхностей соприкасается и не является внешней поверхностью детали. Площадь соприкосновения равна площади основания верхнего блока: $S_{конт} = a_2 \cdot b_2 = 1 \cdot 2 = 2$. Эту площадь нужно вычесть дважды (по одному разу из площади поверхности каждого блока).
Общая площадь поверхности детали равна:
$S = S_1 + S_2 - 2 \cdot S_{конт} = 16 + 10 - 2 \cdot 2 = 26 - 4 = 22$.
Ответ: 22.

b) Данная деталь представляет собой лестницу из трех ступеней. Для нахождения площади ее поверхности вычислим площади всех ее граней и сложим их.
Исходя из размеров на рисунке, каждая ступень имеет высоту 1 и ширину 2. Общая длина детали 3, общая высота 3, общая ширина 2.
1. Площадь основания (нижняя грань): $S_{осн} = 3 \cdot 2 = 6$.
2. Площадь верхних граней (три ступеньки). Длина каждой ступеньки равна 1 ($3-2=1$, $2-1=1$, $1$). Площадь каждой ступеньки $1 \cdot 2 = 2$. Общая площадь верхних граней: $S_{верхн} = 3 \cdot (1 \cdot 2) = 6$.
3. Площадь задней грани. Это прямоугольник с размерами, равными общей высоте и общей ширине детали: $S_{задн} = 3 \cdot 2 = 6$.
4. Площадь передних граней (три вертикальные планки). Каждая имеет высоту 1 и ширину 2. Общая площадь передних граней: $S_{передн} = 3 \cdot (1 \cdot 2) = 6$.
5. Площадь боковых граней (левой и правой). Они одинаковы и имеют форму ступенчатого профиля. Площадь одного профиля равна сумме площадей трех прямоугольников $1 \times 1$, $1 \times 2$, $1 \times 3$. Нет, площадь профиля равна $1 \cdot 1 + (1+1) \cdot 1 + (1+1+1) \cdot 1 = 1+2+3=6$. Общая площадь двух боковых граней: $S_{бок} = 2 \cdot 6 = 12$.
Суммируем площади всех граней:
$S = S_{осн} + S_{верхн} + S_{задн} + S_{передн} + S_{бок} = 6 + 6 + 6 + 6 + 12 = 36$.
Ответ: 36.