Номер 1.18, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.18. Найдите диагонали правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1.

По условию задачи, мы имеем правильную шестиугольную призму, у которой все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a = 1$, и высота призмы (длина бокового ребра) также равна $h = 1$.

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Длину диагонали призмы $d$ можно найти по формуле $d^2 = h^2 + d_{осн}^2$, где $h$ — высота призмы, а $d_{осн}$ — это длина соответствующей диагонали основания.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 1$. У такого шестиугольника есть диагонали двух разных длин. Соответственно, у призмы также будут два типа диагоналей.

Нахождение первой диагонали призмы

Сначала найдем длину меньшей диагонали основания. Эта диагональ соединяет вершины через одну (например, диагональ $AC$ в шестиугольнике $ABCDEF$). Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором стороны $AB = BC = 1$, а угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов:

$d_{осн1}^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.

Таким образом, длина меньшей диагонали основания равна $d_{осн1} = \sqrt{3}$.

Теперь найдем длину соответствующей диагонали призмы, которая опирается на эту диагональ основания. Ее квадрат длины равен сумме квадратов высоты призмы и диагонали основания:

$d_1^2 = h^2 + d_{осн1}^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

Отсюда, первая диагональ призмы равна $d_1 = \sqrt{4} = 2$.

Нахождение второй диагонали призмы

Далее найдем длину большей диагонали основания. Эта диагональ проходит через центр шестиугольника и соединяет противоположные вершины (например, $AD$). Ее длина равна удвоенной стороне шестиугольника:

$d_{осн2} = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

Найдем длину соответствующей диагонали призмы, опирающейся на большую диагональ основания. Ее квадрат длины также равен сумме квадратов высоты и диагонали основания:

$d_2^2 = h^2 + d_{осн2}^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

Следовательно, вторая диагональ призмы равна $d_2 = \sqrt{5}$.

Таким образом, у данной призмы есть диагонали двух различных длин.

Ответ: длины диагоналей призмы равны 2 и $\sqrt{5}$.