Номер 1.23, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.23 Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.18.

а)

б)

Рис. 1.18

а)

Для нахождения площади поверхности детали а) можно использовать несколько методов. Рассмотрим метод сложения площадей всех её граней.Деталь представляет собой прямоугольный параллелепипед с размерами 3 (длина), 2 (ширина) и 2 (высота), из которого сверху вырезан паз.Размеры паза: длина 2 (во всю ширину детали), ширина 1, глубина 1.Площадь поверхности состоит из следующих частей:

1. Площадь передней и задней граней. Каждая из них представляет собой U-образную фигуру. Её площадь можно рассчитать как площадь прямоугольника 3x2 за вычетом площади выреза 1x1.$S_{перед} = S_{зад} = (3 \cdot 2) - (1 \cdot 1) = 6 - 1 = 5$.Суммарная площадь: $5 + 5 = 10$.

2. Площадь левой и правой боковых граней. Это прямоугольники размером 2x2.$S_{левая} = S_{правая} = 2 \cdot 2 = 4$.Суммарная площадь: $4 + 4 = 8$.

3. Площадь нижней грани (основания). Это прямоугольник размером 3x2.$S_{низ} = 3 \cdot 2 = 6$.

4. Площадь верхних граней. Это две прямоугольные площадки по бокам от паза. Каждая имеет размеры 1x2.$S_{верх} = 2 \cdot (1 \cdot 2) = 4$.

5. Площадь внутренних граней паза. Паз добавляет три новые поверхности: дно и две боковые стенки.- Дно паза: прямоугольник 1x2. $S_{дно\_паза} = 1 \cdot 2 = 2$.- Боковые стенки паза: два прямоугольника размером 1x2 (глубина паза 1, длина паза 2). $S_{стенки\_паза} = 2 \cdot (1 \cdot 2) = 4$.

Общая площадь поверхности - это сумма площадей всех перечисленных граней:$S_{общая} = (S_{перед} + S_{зад}) + (S_{левая} + S_{правая}) + S_{низ} + S_{верх} + S_{дно\_паза} + S_{стенки\_паза}$$S_{общая} = 10 + 8 + 6 + 4 + 2 + 4 = 34$.

Ответ: 34.

б)

Деталь б) представляет собой куб с ребром 2, из одного угла которого вырезан куб с ребром 1.Для нахождения площади поверхности такой фигуры удобно использовать метод "окаймляющего параллелепипеда".

1. Представим, что деталь является цельным кубом с ребром 2. Площадь поверхности такого куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ - длина ребра.$S_{куб} = 6 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4 = 24$.

2. Теперь рассмотрим, как изменилась площадь поверхности после того, как из угла вырезали маленький куб с ребром 1.- При вырезании углового кубика исчезли три его грани, которые были частью поверхности большого куба (верхняя, передняя и правая). Площадь каждой такой грани равна $1 \cdot 1 = 1$. Суммарная удаленная площадь: $3 \cdot 1 = 3$.- Одновременно с этим обнажились три внутренние грани маленького кубика (нижняя, задняя и левая), которые стали частью новой поверхности. Площадь каждой из этих новых граней также равна $1 \cdot 1 = 1$. Суммарная добавленная площадь: $3 \cdot 1 = 3$.

3. Таким образом, общая площадь поверхности не изменилась: мы убрали 3 единицы площади и добавили 3 единицы площади.$S_{детали} = S_{куб} - 3 + 3 = S_{куб} = 24$.

Можно также проверить, сложив площади всех 9 граней фигуры:- 3 большие грани (нижняя, задняя, левая): $3 \cdot (2 \cdot 2) = 12$.- 3 L-образные грани (верхняя, передняя, правая): $3 \cdot (2^2 - 1^2) = 3 \cdot 3 = 9$.- 3 внутренние грани от выреза: $3 \cdot (1 \cdot 1) = 3$.$S_{общая} = 12 + 9 + 3 = 24$.

Ответ: 24.