Номер 1.25, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.25 Чему равна площадь поверхности детали в форме пространственного креста (рис. 1.20), если ребра образующих его кубов равны единице?

Рис. 1.20

25 м

5 м

7 м

Рис. 1.21

Для решения задачи определим площадь поверхности пространственного креста, состоящего из единичных кубов. Предполагается, что фигура представляет собой симметричный пространственный крест, который состоит из одного центрального куба и шести кубов, примыкающих к каждой из его граней. Таким образом, всего в фигуре 7 кубов.

Длина ребра каждого куба, согласно условию, равна $a=1$. Площадь одной грани такого куба составляет $S_{грань} = a^2 = 1^2 = 1$ квадратная единица.

Площадь поверхности всей детали можно найти, вычислив суммарную площадь поверхностей всех составляющих ее кубов, если бы они были раздельными, а затем вычтя из этой суммы площади тех граней, которые при соединении кубов оказались внутри фигуры.

1. Найдем общую площадь поверхности 7 отдельных кубов. Каждый куб имеет 6 граней, поэтому общая площадь составляет:$S_{общая} = 7 \times (6 \times S_{грань}) = 7 \times (6 \times 1) = 42$ квадратные единицы.

2. Определим площадь граней, которые скрыты внутри фигуры. Центральный куб соединен с шестью другими кубами. Каждое соединение скрывает две грани (одну на центральном кубе и одну на примыкающем). Всего соединений 6, следовательно, количество скрытых граней равно:$N_{скрытых} = 6 \times 2 = 12$ граней.

3. Площадь всех скрытых граней составляет:$S_{скрытая} = N_{скрытых} \times S_{грань} = 12 \times 1 = 12$ квадратных единиц.

4. Площадь поверхности детали равна разности общей площади поверхностей отдельных кубов и площади скрытых граней:$S_{детали} = S_{общая} - S_{скрытая} = 42 - 12 = 30$ квадратных единиц.

Альтернативный способ подсчета заключается в определении количества внешних (видимых) граней. Центральный куб полностью окружен, и его вклад в площадь поверхности равен нулю. Каждый из 6 внешних кубов имеет 5 видимых граней (одна грань каждого из них скрыта, так как она примыкает к центральному кубу). Таким образом, общее число видимых граней равно $6 \times 5 = 30$. Так как площадь каждой грани равна 1, общая площадь поверхности детали составляет $30 \times 1 = 30$ квадратных единиц.

Ответ: 30