Номер 1.24, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.24 Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.19.

а)

б)

Рис. 1.19

а)

Для нахождения площади поверхности первой детали, представим её как призму с основанием в виде U-образной фигуры. Глубина этой призмы (длина боковых рёбер) равна 2.

1. Найдём площадь основания (U-образной фигуры).

Основание можно рассматривать как прямоугольник размером $3 \times 2$ с вырезанным сверху по центру прямоугольником размером $1 \times 1$.

Площадь одного основания: $S_{осн} = (3 \times 2) - (1 \times 1) = 6 - 1 = 5$.

Так как у призмы два основания (передняя и задняя грани), их суммарная площадь: $S_{1} = 2 \times S_{осн} = 2 \times 5 = 10$.

2. Найдём площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на глубину призмы. Сначала найдём периметр U-образной фигуры.

Периметр состоит из внешних и внутренних рёбер:

• Нижнее ребро: 3
• Левое и правое вертикальные рёбра: $2 + 2 = 4$
• Верхние горизонтальные рёбра: $1 + 1 = 2$
• Внутренние рёбра выреза (два вертикальных по 1 и одно горизонтальное 1): $1 + 1 + 1 = 3$

Периметр основания: $P = 3 + 4 + 2 + 3 = 12$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \times глубина = 12 \times 2 = 24$.

3. Найдём общую площадь поверхности.

Общая площадь поверхности детали равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности.

$S_{общ} = S_{1} + S_{бок} = 10 + 24 = 34$.

Ответ: 34.

б)

В размерах второй детали есть противоречие: общая длина нижнего ребра равна 3, в то время как сумма длин верхних частей (левая башня 1, правая башня 1, промежуток 2) равна $1 + 2 + 1 = 4$. Предположим, что в размере нижнего ребра допущена опечатка, и его истинная длина равна 4. Тогда деталь можно представить как композицию из трёх прямоугольных параллелепипедов: большого основания и двух маленьких "башен" наверху.

1. Определим размеры составных частей:

• Основание: длина = 4, ширина = 2, высота = 1.
• Левая башня (куб): 1x1x1.
• Правая башня (куб): 1x1x1.

2. Рассчитаем площадь поверхности методом сложения площадей всех видимых граней.

• Горизонтальные грани:
  • Нижняя грань (дно): $4 \times 2 = 8$.
  • Верхняя грань основания (часть, не покрытая башнями): $(4 \times 2) - (1 \times 1) - (1 \times 1) = 8 - 2 = 6$.
  • Верхние грани башен: $(1 \times 1) + (1 \times 1) = 2$.
  Сумма площадей горизонтальных граней: $8 + 6 + 2 = 16$.
• Вертикальные грани, параллельные боковой стороне (длиной 2):
  • Левая боковая грань (L-образная): $(2 \times 1) + (1 \times 1) = 3$.
  • Правая боковая грань (L-образная): $(2 \times 1) + (1 \times 1) = 3$.
  • Внутренние грани башен, образующие зазор: $(1 \times 1) + (1 \times 1) = 2$.
  Сумма площадей этих граней: $3 + 3 + 2 = 8$.
• Вертикальные грани, параллельные передней стороне (длиной 4):
  • Задняя грань (полностью): $4 \times 2 = 8$.
  • Передняя грань (ступенчатая): нижняя часть $(4 \times 1)$ + передние грани башен $(1 \times 1) + (1 \times 1)$. Итого: $4 + 1 + 1 = 6$.
  Сумма площадей этих граней: $8 + 6 = 14$.

3. Найдём общую площадь поверхности.

Сложим площади всех найденных групп граней:

$S_{общ} = 16 (горизонтальные) + 8 (боковые) + 14 (передние/задние) = 38$.

Давайте перепроверим другим методом, разбив на части и вычитая площади соприкосновения.

• Площадь поверхности основания ($4 \times 2 \times 1$): $S_{осн} = 2(4\cdot2 + 4\cdot1 + 2\cdot1) = 2(8+4+2) = 28$.
• Площадь поверхности одной башни ($1 \times 1 \times 1$): $S_{башня} = 6(1^2) = 6$.
• Площадь соприкосновения одной башни с основанием: $A_c = 1 \times 1 = 1$.

Общая площадь равна сумме площадей всех частей минус удвоенные площади соприкосновения:

$S_{общ} = S_{осн} + 2 \times S_{башня} - 2 \times (2 \times A_c) = 28 + 2 \times 6 - 4 \times 1 = 28+12-4 = 36$.

Произошла ошибка в первом методе. Давайте найдем ее. В п.2.3. ("Вертикальные грани, параллельные передней стороне"): Задняя грань - это не единый прямоугольник $4 \times 2$. Она состоит из задней стенки основания ($4 \times 1$) и видимой части задней стенки башен. Но башни находятся спереди. Задняя грань - это задняя грань основания ($4 \times 1 = 4$) плюс задняя грань верхней части ($4 \times 1 = 4$). Итого $8$. Передняя грань 6.Давайте воспользуемся списком всех отдельных внешних граней:

• Дно: $4 \times 2 = 8$.
• Верх башен: $2 \times (1 \times 1) = 2$.
• Верх основания: $4 \times 2 - 2 \times (1 \times 1) = 6$.
• Задняя стенка основания: $4 \times 1 = 4$.
• Задние стенки башен (видимые сзади, над основанием): $2 \times (1 \times 1) = 2$.
• Передняя стенка основания: $4 \times 1 = 4$.
• Передние стенки башен: $2 \times (1 \times 1) = 2$.
• Боковая левая стенка основания: $2 \times 1 = 2$.
• Боковая левая стенка башни: $1 \times 1 = 1$.
• Боковая правая стенка основания: $2 \times 1 = 2$.
• Боковая правая стенка башни: $1 \times 1 = 1$.
• Внутренняя боковая стенка левой башни: $1 \times 1 = 1$.
• Внутренняя боковая стенка правой башни: $1 \times 1 = 1$.

Суммируем все: $S = 8+2+6+4+2+4+2+2+1+2+1+1+1 = 36$.

Результаты двух точных методов совпали.

Ответ: 36.