Номер 1.30, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.30. Может ли невыпуклый многоугольник быть гранью выпуклого многогранника?

Нет, невыпуклый многоугольник не может быть гранью выпуклого многогранника. Приведем доказательство этого утверждения.

Воспользуемся определением выпуклого многогранника. Выпуклый многогранник — это такой многогранник, который целиком лежит по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней. Другое эквивалентное определение гласит, что отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многогранника, полностью содержится в этом многограннике.

Допустим от противного, что существует выпуклый многогранник $M$, одна из граней которого, обозначим ее $F$, является невыпуклым многоугольником.

Поскольку многоугольник $F$ является невыпуклым, это означает, что найдутся две точки $A$ и $B$, лежащие внутри этого многоугольника, такие, что отрезок $[AB]$ не полностью принадлежит многоугольнику $F$. То есть, как минимум одна точка отрезка $[AB]$ находится вне многоугольника $F$.

С другой стороны, грань $F$ по определению является частью многогранника $M$. Значит, точки $A$ и $B$, принадлежащие грани $F$, также принадлежат и многограннику $M$.

Так как многогранник $M$ по нашему допущению является выпуклым, то, согласно его определению, весь отрезок $[AB]$ должен целиком принадлежать многограннику $M$.

Пусть $\pi$ — это плоскость, в которой лежит грань $F$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в грани $F$, они лежат и в плоскости $\pi$. Следовательно, и весь отрезок $[AB]$ лежит в этой плоскости.

Таким образом, мы получили, что отрезок $[AB]$ полностью лежит в плоскости $\pi$ и одновременно полностью принадлежит выпуклому многограннику $M$.

Пересечением выпуклого многогранника $M$ с плоскостью $\pi$, которая содержит его грань $F$, является сама грань $F$. Это фундаментальное свойство выпуклых многогранников. Из этого следует, что отрезок $[AB]$ как часть этого пересечения должен полностью принадлежать грани $F$.

Мы получили противоречие. Мы выбрали точки $A$ и $B$ так, что отрезок $[AB]$ не принадлежит полностью грани $F$, но из свойства выпуклости многогранника $M$ следует, что он обязан принадлежать грани $F$.

Данное противоречие означает, что наше первоначальное предположение неверно. Следовательно, все грани выпуклого многогранника обязаны быть выпуклыми многоугольниками.

Ответ: Нет, не может.