Номер 1.31, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.31. Всегда ли объединение выпуклых фигур является выпуклой фигурой?

Нет, объединение выпуклых фигур не всегда является выпуклой фигурой. Чтобы доказать это утверждение, достаточно привести хотя бы один контрпример.

Сначала вспомним определение: фигура называется выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры отрезок, соединяющий их, целиком принадлежит этой фигуре.

Рассмотрим в качестве контрпримера две выпуклые фигуры, которые не пересекаются. Пусть на плоскости заданы два круга:

1. Фигура $F_1$ — круг с центром в точке $A(-2, 0)$ и радиусом $r = 1$.
2. Фигура $F_2$ — круг с центром в точке $B(2, 0)$ и радиусом $r = 1$.

Каждый круг сам по себе является выпуклой фигурой. Теперь рассмотрим их объединение $F = F_1 \cup F_2$. Чтобы проверить, является ли фигура $F$ выпуклой, возьмем две точки, принадлежащие ей. Пусть одна точка — это центр первого круга $A(-2, 0)$, а вторая — центр второго круга $B(2, 0)$. Обе эти точки принадлежат фигуре $F$, так как $A \in F_1$ и $B \in F_2$.

Соединим эти точки отрезком $AB$. Рассмотрим любую точку на этом отрезке, находящуюся строго между $A$ и $B$. Например, возьмем середину отрезка — точку $O(0, 0)$. Проверим, принадлежит ли точка $O$ объединению $F$.

Расстояние от точки $O(0, 0)$ до центра круга $F_1$ (точки $A(-2, 0)$) равно $2$. Это больше, чем радиус круга ($2 > 1$), поэтому точка $O$ не принадлежит кругу $F_1$.

Аналогично, расстояние от точки $O(0, 0)$ до центра круга $F_2$ (точки $B(2, 0)$) также равно $2$, что больше радиуса. Следовательно, точка $O$ не принадлежит и кругу $F_2$.

Поскольку точка $O(0, 0)$ не принадлежит ни $F_1$, ни $F_2$, она не принадлежит и их объединению $F = F_1 \cup F_2$.

Таким образом, мы нашли две точки $A$ и $B$, принадлежащие фигуре $F$, но отрезок $AB$ не полностью содержится в этой фигуре. Это противоречит определению выпуклой фигуры. Следовательно, объединение двух выпуклых фигур (в данном случае, двух непересекающихся кругов) не является выпуклой фигурой.

Ответ: Нет, не всегда.