Номер 2.1, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.1. На листе бумаги в клетку изобразите пирамиды, аналогичные данным на рисунке 2.5.

Рис. 2.5

Для того чтобы изобразить пирамиды, аналогичные данным на рисунке, на листе бумаги в клетку, необходимо определить координаты их вершин и следовать инструкциям по построению. Примем, что одна клетка на бумаге соответствует единице длины в системе координат, начало которой $(0, 0)$ находится в левом нижнем углу сетки.

а)

Изображение 'а)' представляет собой четырехугольную пирамиду с некоторыми особенностями в отображении невидимых линий. Для ее построения необходимо выполнить следующие шаги.

Сначала определим координаты ключевых точек на сетке:

- Вершина пирамиды: $S(4, 7)$.
- Видимые вершины основания: $A(1, 1)$, $B(7, 1)$, $C(8, 2)$.
- Вспомогательная точка, в которой сходятся пунктирные линии: $P(4, 4)$. Эта точка также является скрытой вершиной основания.

Процесс построения:

1. Нанесите на бумагу в клетку точки $S(4, 7)$, $A(1, 1)$, $B(7, 1)$, $C(8, 2)$ и $P(4, 4)$.

2. Соедините сплошными линиями видимые ребра пирамиды. Это ребра, которые находятся на переднем плане и не перекрываются другими частями фигуры.

- Соедините точки $A(1, 1)$ и $B(7, 1)$, чтобы получить ребро основания $AB$.

- Соедините точки $B(7, 1)$ и $C(8, 2)$, чтобы получить ребро основания $BC$.

- Соедините вершину $S(4, 7)$ с вершинами основания $A(1, 1)$, $B(7, 1)$ и $C(8, 2)$, чтобы получить боковые ребра $SA$, $SB$ и $SC$.

3. Изобразите пунктирными (штриховыми) линиями невидимые ребра и другие элементы, как на рисунке:

- Соедините вершину $S(4, 7)$ с точкой $P(4, 4)$. Это невидимое боковое ребро $SP$.

- Соедините вершину основания $A(1, 1)$ с точкой $P(4, 4)$. Это невидимое ребро основания $AP$.

- На рисунке также присутствует горизонтальная пунктирная линия, исходящая из точки $P(4, 4)$ вправо. Она заканчивается на видимом ребре $SC$. Чтобы воспроизвести рисунок, проведите пунктирную линию от точки $P(4, 4)$ до точки пересечения с ребром $SC$. Эта точка пересечения имеет координаты примерно $(6.4, 4)$. Для простоты можно провести пунктирный отрезок длиной в 2-3 клетки вправо от точки $P$.

Ответ: Для изображения пирамиды 'а)' нужно отметить на клетчатой бумаге точки $S(4, 7)$, $A(1, 1)$, $B(7, 1)$, $C(8, 2)$ и $P(4, 4)$. Затем ребра $SA, SB, SC, AB, BC$ соединить сплошными линиями. Линии $SP, AP$ и горизонтальную линию из точки $P$ до ребра $SC$ изобразить пунктиром.

б)

Изображение 'б)' представляет собой классическую четырехугольную пирамиду, все вершины которой расположены в узлах координатной сетки. Это делает ее построение более простым и однозначным.

Координаты вершин пирамиды:

- Вершина пирамиды: $S(5, 8)$.
- Вершины основания: $A(2, 1)$, $B(8, 1)$, $C(9, 3)$ и $D(1, 3)$.

Процесс построения:

1. Нанесите на бумагу в клетку все пять вершин пирамиды: $S(5, 8)$, $A(2, 1)$, $B(8, 1)$, $C(9, 3)$ и $D(1, 3)$.

2. Соедините сплошными линиями видимые ребра пирамиды. С точки зрения наблюдателя, находящегося спереди и снизу, это будут следующие ребра:

- Ребра основания $AB$ (соединяет $A(2, 1)$ и $B(8, 1)$) и $BC$ (соединяет $B(8, 1)$ и $C(9, 3)$).

- Боковые ребра $SA$ (соединяет $S(5, 8)$ и $A(2, 1)$), $SB$ (соединяет $S(5, 8)$ и $B(8, 1)$) и $SC$ (соединяет $S(5, 8)$ и $C(9, 3)$).

3. Соедините пунктирными линиями невидимые ребра пирамиды. Это ребра, которые находятся сзади или внутри фигуры:

- Ребра основания $AD$ (соединяет $A(2, 1)$ и $D(1, 3)$) и $CD$ (соединяет $C(9, 3)$ и $D(1, 3)$).

- Боковое ребро $SD$ (соединяет $S(5, 8)$ и $D(1, 3)$).

Следуя этим шагам, вы получите точную копию пирамиды, показанной на рисунке 'б)'.

Ответ: Для изображения пирамиды 'б)' необходимо отметить на клетчатой бумаге точки $S(5, 8)$, $A(2, 1)$, $B(8, 1)$, $C(9, 3)$ и $D(1, 3)$. Затем видимые ребра ($SA, SB, SC, AB, BC$) соединить сплошными линиями, а невидимые ребра ($SD, AD, CD$) — пунктирными.