Задания, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на длину апофемы пирамиды, т.е. имеет место формула:

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}pl,$

где $l$ — апофема (высота боковой грани, опущенной из вершины пирамиды), а $p$ — периметр основания пирамиды.

Рис. 2.2

Докажите эту теорему самостоятельно.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду. По определению, основанием такой пирамиды является правильный n-угольник, а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника. Из этого следует, что все боковые грани правильной пирамиды являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) равна сумме площадей всех ее боковых граней.

Пусть в основании пирамиды лежит правильный n-угольник со стороной $a$. Тогда у пирамиды $n$ боковых граней.

Каждая боковая грань представляет собой треугольник, основанием которого является сторона основания пирамиды $a$. Высота этого треугольника, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой и обозначается $l$. Поскольку все боковые грани равны, их апофемы также равны.

Площадь одной боковой грани ($S_{грани}$) вычисляется по формуле площади треугольника:

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l$

Так как все $n$ боковых граней имеют одинаковую площадь, общая площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению количества граней на площадь одной грани:

$S_{бок} = n \cdot S_{грани} = n \cdot (\frac{1}{2}al) = \frac{1}{2}(na)l$

Периметр основания ($p$) для правильного n-угольника со стороной $a$ вычисляется как $p = n \cdot a$.

Заменим произведение $na$ в формуле для площади боковой поверхности на периметр $p$:

$S_{бок} = \frac{1}{2}pl$

Таким образом, теорема о том, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на длину апофемы, доказана.

Ответ: Боковая поверхность правильной пирамиды состоит из $n$ равных равнобедренных треугольников (боковых граней). Площадь одного такого треугольника равна $S_{грани} = \frac{1}{2}al$, где $a$ – сторона основания пирамиды, а $l$ – ее апофема. Общая площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей всех граней: $S_{бок} = n \cdot S_{грани} = n \cdot \frac{1}{2}al = \frac{1}{2}(na)l$. Периметр основания $p$ равен $p=na$. Подставляя $p$ в выражение для $S_{бок}$, получаем искомую формулу: $S_{бок} = \frac{1}{2}pl$. Что и требовалось доказать.