Номер 2.8, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.8. Найдите площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. рис. 2.10).

Рис. 2.10

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Площадь правильного шестиугольника, который состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$, вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Подставив $a=1$, получим площадь основания: $S_{осн} = \frac{3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Боковая поверхность пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников. Рассмотрим одну боковую грань. Ее основание равно стороне основания пирамиды $a=1$, а боковые стороны равны боковым ребрам $l=2$. Для нахождения площади этого треугольника найдем его высоту (апофему пирамиды), опущенную на сторону основания. Обозначим эту высоту $h_a$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой, боковым ребром и половиной стороны основания:

$h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{16-1}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

Площадь одной боковой грани равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$. Так как боковых граней шесть, площадь всей боковой поверхности составляет $S_{бок} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$.

Теперь найдем площадь полной поверхности пирамиды, сложив площади основания и боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{15}}{2}$. Это выражение можно упростить, вынеся общий множитель: $S_{полн} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{15})}{2} = \frac{3\sqrt{3}(1 + \sqrt{5})}{2}$.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{2} $.