Страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.4. Разверткой какого многогранника может служить фигура, изображенная на рисунке 2.8?

Рис. 2.8

2.4. Фигура, изображенная на рисунке, представляет собой пятиконечную звезду (пентаграмму). Чтобы определить, разверткой какого многогранника она является, необходимо проанализировать ее структуру и мысленно "собрать" из нее объемное тело.

В центре звезды расположен правильный пятиугольник. При сборке многогранника этот пятиугольник станет его основанием.

Пять треугольников, образующих "лучи" звезды, являются боковыми гранями. Если согнуть фигуру по сторонам центрального пятиугольника, поднимая треугольные грани вверх, то их боковые стороны сойдутся друг с другом. Все пять вершин треугольников соединятся в одной точке, которая станет вершиной многогранника, расположенной над центром основания.

В результате мы получаем многогранник, у которого основанием является пятиугольник, а боковые грани — пять треугольников, сходящихся в одной общей вершине. Такой многогранник называется пятиугольной пирамидой.

Ответ: Фигура, изображенная на рисунке, может служить разверткой пятиугольной пирамиды.

2.5. Нарисуйте развертку правильной четырехугольной пирамиды.

Правильная четырехугольная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный четырехугольник (квадрат), а ее вершина проецируется в центр этого квадрата. Все боковые грани такой пирамиды являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

Развертка геометрического тела — это плоская фигура, которую можно сложить, чтобы получить это тело. Для правильной четырехугольной пирамиды развертка состоит из всех ее граней: одного квадрата (основания) и четырех треугольников (боковых граней).

Чтобы нарисовать развертку, нужно выполнить следующие шаги:
1. Начертить квадрат, который будет служить основанием пирамиды. Пусть длина его стороны равна $a$.
2. К каждой из четырех сторон квадрата пристроить по одному равнобедренному треугольнику.
3. Основания этих треугольников совпадают со сторонами квадрата (их длина равна $a$), а боковые стороны (бедра) равны боковому ребру пирамиды (обозначим его длину $l$). Все четыре треугольника должны быть одинаковыми.
4. Чтобы фигуру можно было сложить в объемную пирамиду, длина бокового ребра $l$ должна быть больше половины диагонали основания, то есть должно выполняться условие: $l > \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Схематичное изображение развертки правильной четырехугольной пирамиды выглядит следующим образом:

Ответ: Развертка правильной четырехугольной пирамиды представляет собой фигуру, состоящую из центрального квадрата (основание) и четырех равных равнобедренных треугольников (боковые грани), примыкающих к каждой из сторон квадрата, как показано на рисунке выше.

2.6. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1.

В правильной четырехугольной пирамиде основанием является квадрат. Обозначим его $ABCD$. Пусть $S$ — вершина пирамиды. По условию, все ребра равны 1, то есть сторона основания $a=AB=1$ и боковое ребро $l=SA=1$. Высота пирамиды $H=SO$ опускается из вершины $S$ в центр квадрата $O$, который является точкой пересечения его диагоналей.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Его гипотенуза — это боковое ребро $SA=1$, один катет — высота $SO=H$, а другой катет — половина диагонали квадрата $AO$.

Сначала найдем длину диагонали $d=AC$ квадрата $ABCD$ со стороной $a=1$. По теореме Пифагора для треугольника $ABC$: $d^2 = a^2 + a^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, откуда $d = \sqrt{2}$. Тогда половина диагонали равна $AO = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику $SOA$:$SA^2 = SO^2 + AO^2$Подставим известные значения:$1^2 = H^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$1 = H^2 + \frac{2}{4}$$1 = H^2 + \frac{1}{2}$Отсюда $H^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.Следовательно, высота $H = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2.7 Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади ее основания ($S_{осн}$) и площади ее боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула для расчета: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания.
Поскольку пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. По условию задачи, все ребра пирамиды равны 1. Следовательно, сторона квадрата в основании также равна 1.
Площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = a^2$.
$S_{осн} = 1^2 = 1$.

2. Найдем площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность состоит из четырех треугольных граней. Рассмотрим любую из них, например, грань $SAB$. Ее стороны — это боковые ребра $SA$, $SB$ и ребро основания $AB$. По условию, все они равны 1. Значит, каждая боковая грань является равносторонним треугольником со стороной 1.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $b$ можно найти по формуле: $S_{\Delta} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$.
Подставим значение стороны $b=1$:
$S_{грани} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Так как все четыре боковые грани равны, площадь боковой поверхности равна учетверенной площади одной грани:
$S_{бок} = 4 \times S_{грани} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

3. Найдем площадь полной поверхности.
Сложим площади основания и боковой поверхности:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 1 + \sqrt{3}$.

Ответ: $1 + \sqrt{3}$.

2.8. Найдите площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. рис. 2.10).

Рис. 2.10

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Площадь правильного шестиугольника, который состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$, вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Подставив $a=1$, получим площадь основания: $S_{осн} = \frac{3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Боковая поверхность пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников. Рассмотрим одну боковую грань. Ее основание равно стороне основания пирамиды $a=1$, а боковые стороны равны боковым ребрам $l=2$. Для нахождения площади этого треугольника найдем его высоту (апофему пирамиды), опущенную на сторону основания. Обозначим эту высоту $h_a$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой, боковым ребром и половиной стороны основания:

$h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{16-1}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

Площадь одной боковой грани равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$. Так как боковых граней шесть, площадь всей боковой поверхности составляет $S_{бок} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$.

Теперь найдем площадь полной поверхности пирамиды, сложив площади основания и боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{15}}{2}$. Это выражение можно упростить, вынеся общий множитель: $S_{полн} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{15})}{2} = \frac{3\sqrt{3}(1 + \sqrt{5})}{2}$.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{2} $.

2.9. Найдите высоту правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.

Для нахождения высоты правильной шестиугольной пирамиды рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, её боковым ребром $l$ и радиусом $R$ окружности, описанной около основания. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и радиус $R$ — катетами.

Согласно условию задачи:
- сторона основания $a = 1$;
- боковое ребро $l = 2$.

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник. Особенностью правильного шестиугольника является то, что радиус описанной около него окружности равен его стороне. Следовательно, $R = a = 1$.

Применим теорему Пифагора к нашему прямоугольному треугольнику: $l^2 = h^2 + R^2$.
Выразим из этой формулы высоту $h$:
$h^2 = l^2 - R^2$
Подставим известные значения $l = 2$ и $R = 1$:
$h^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
$h = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$.

2.10. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в два раза?

Площадь полной поверхности пирамиды представляет собой сумму площади ее основания и площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности, в свою очередь, является суммой площадей всех ее боковых граней, которые представляют собой треугольники.

При гомотетии (преобразовании подобия) с коэффициентом $k$, все линейные размеры фигуры изменяются в $k$ раз, а все площади изменяются в $k^2$ раз.

В условии задачи все ребра пирамиды увеличиваются в 2 раза. Это означает, что новая пирамида подобна исходной с коэффициентом подобия $k=2$.

Пусть $S_{полн}$ - исходная площадь полной поверхности пирамиды, $S_{осн}$ - исходная площадь основания, а $S_{бок}$ - исходная площадь боковой поверхности. Тогда $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

После увеличения всех ребер в 2 раза, площадь основания новой пирамиды $S'_{осн}$ и площадь ее боковой поверхности $S'_{бок}$ увеличатся в $k^2 = 2^2 = 4$ раза по сравнению с исходными:

$S'_{осн} = 4 \cdot S_{осн}$

$S'_{бок} = 4 \cdot S_{бок}$

Новая площадь полной поверхности $S'_{полн}$ будет равна:

$S'_{полн} = S'_{осн} + S'_{бок} = 4 \cdot S_{осн} + 4 \cdot S_{бок} = 4 \cdot (S_{осн} + S_{бок}) = 4 \cdot S_{полн}$

Следовательно, площадь поверхности пирамиды увеличится в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

2.11. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра уменьшить в три раза?

Площадь полной поверхности пирамиды представляет собой сумму площади ее основания и площадей всех ее боковых граней. Каждая грань (и основание, и боковые грани) является плоской геометрической фигурой — многоугольником.

Когда все линейные размеры геометрического тела, включая все его ребра, изменяются в одинаковое количество раз, происходит преобразование подобия. Если коэффициент подобия равен $k$, то все площади подобных фигур (включая площади граней) изменяются в $k^2$ раз.

В условии задачи все ребра пирамиды уменьшаются в 3 раза. Это значит, что новая пирамида подобна исходной с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{3}$.

Следовательно, площадь каждой грани новой, уменьшенной пирамиды будет в $k^2$ раз меньше площади соответствующей грани исходной пирамиды.

Рассчитаем, во сколько раз изменится площадь:$k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

Так как площадь полной поверхности пирамиды является суммой площадей всех ее граней, а площадь каждой грани уменьшилась в 9 раз, то и общая площадь поверхности также уменьшится в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.