Страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.27 На рисунке 1.22 укажите выпуклые и невыпуклые многогранники.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Рис. 1.22

Для определения выпуклости многогранника используется следующее правило: многогранник является выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней. Если существует хотя бы одна грань, плоскость которой разрезает многогранник на части, то он является невыпуклым. Также, многогранник выпуклый, если любой отрезок, соединяющий две его внутренние точки, полностью содержится внутри этого многогранника.

а) Данный многогранник, составленный из шести кубов, является невыпуклым. У него есть "впадины" или внутренние углы. Например, если провести плоскость через грань центрального куба, к которой примыкает один из боковых кубов, то многогранник окажется по обе стороны от этой плоскости. Также можно соединить отрезком центры двух противоположных боковых кубов, и этот отрезок частично пройдет вне многогранника.
Ответ: невыпуклый многогранник.

б) Эта фигура (звёздчатый октаэдр, или соединение двух тетраэдров) является невыпуклым многогранником. Несмотря на то что его выпуклой оболочкой является куб, сама фигура имеет "впадины" между своими "лучами". Отрезок, соединяющий точки на двух разных "лучах", может выходить за пределы тела многогранника.
Ответ: невыпуклый многогранник.

в) Пятиугольная призма является выпуклым многогранником. Она полностью лежит по одну сторону от плоскости любой из своих граней (двух пятиугольных оснований и пяти боковых прямоугольников). Любой отрезок, соединяющий две точки внутри призмы, целиком ей принадлежит.
Ответ: выпуклый многогранник.

г) Наклонный параллелепипед является выпуклым многогранником. Как и любая призма или параллелепипед, он удовлетворяет определению выпуклого тела: для плоскости любой его грани весь многогранник находится по одну сторону от нее.
Ответ: выпуклый многогранник.

д) Представленный многогранник является выпуклым. У него нет "впадин" или вогнутых частей. Он полностью расположен по одну сторону от плоскости любой из своих граней.
Ответ: выпуклый многогранник.

е) L-образная фигура — это классический пример невыпуклого многогранника. У этого тела есть внутренний двугранный угол, величина которого превышает $180^\circ$. Если провести плоскость через одну из граней, образующих этот "входящий" угол, то она разделит многогранник на две части, которые окажутся по разные стороны от нее.
Ответ: невыпуклый многогранник.

1.28 В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см (рис. 1.23). Найдите площадь поверхности оставшейся части.

Рис. 1.23

Рис. 1.24

Для решения задачи необходимо найти общую площадь поверхности получившейся фигуры. Эта площадь состоит из двух частей: площади внешней поверхности куба с вырезанными отверстиями и площади внутренней поверхности, образованной стенками сквозных отверстий.

1. Найдем площадь внешней поверхности.

Изначальная площадь поверхности куба с ребром $a = 6$ см вычисляется по формуле:

$S_{куба} = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 6^2 = 6 \cdot 36 = 216 \text{ см}^2$.

В каждой из шести граней проделано квадратное отверстие со стороной $b = 2$ см. Площадь одного такого отверстия равна:

$S_{отв} = b^2 = 2^2 = 4 \text{ см}^2$.

Так как отверстий шесть, общая площадь, вырезанная из внешней поверхности куба, составляет:

$S_{вырез} = 6 \cdot S_{отв} = 6 \cdot 4 = 24 \text{ см}^2$.

Следовательно, оставшаяся площадь внешней поверхности фигуры равна:

$S_{внешн} = S_{куба} - S_{вырез} = 216 - 24 = 192 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь внутренней поверхности.

Три сквозных квадратных туннеля проходят через куб перпендикулярно друг другу и пересекаются в его центре. Область их пересечения представляет собой куб с ребром 2 см, который является центральной полостью.

Внутренняя поверхность состоит из стенок шести каналов, которые соединяют эту центральную полость с отверстиями на гранях куба. Каждый такой канал представляет собой прямой параллелепипед с квадратным основанием $2 \times 2$ см.

Длина каждого канала равна половине разности между длиной ребра куба и стороной центральной полости: $L = (6 - 2) / 2 = 2$ см. Таким образом, каждый из шести каналов является кубом с ребром 2 см.

Площадь боковой поверхности одного такого канала (без учета оснований, так как одно открыто в центральную полость, а другое — наружу) состоит из четырех квадратных стенок $2 \times 2$ см. Площадь внутренней поверхности одного канала равна:

$S_{канала} = 4 \cdot b^2 = 4 \cdot 2^2 = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2$.

Поскольку таких каналов шесть (по одному от каждой грани к центру), общая площадь внутренней поверхности равна:

$S_{внутр} = 6 \cdot S_{канала} = 6 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$.

3. Найдем общую площадь поверхности.

Общая площадь поверхности оставшейся части куба — это сумма площади внешней и внутренней поверхностей:

$S_{полная} = S_{внешн} + S_{внутр} = 192 + 96 = 288 \text{ см}^2$.

Ответ: $288 \text{ см}^2$.

1.29. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба (рис. 1.24) из одной его вершины в противолежащую вершину.

$D_1$

$C_1$

$A_1$

$B_1$

$D$

$C$

$A$

$B$

Рис. 1.24

1.29. Задача состоит в нахождении длины кратчайшего пути по поверхности единичного куба (ребро равно 1) между двумя противоположными вершинами. Возьмем в качестве примера вершины $A$ и $C_1$ на кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Кратчайший путь на поверхности объемного тела соответствует прямой линии на его плоской развертке. Чтобы соединить вершины $A$ и $C_1$ по поверхности, необходимо пересечь как минимум две грани.

Рассмотрим развертку двух смежных граней, по которым может пройти путь, например, нижней грани $ABCD$ и боковой грани $BCC_1B_1$. Если развернуть эти два квадрата на плоскость, соединив их по общему ребру $BC$, они образуют прямоугольник.

Размеры этого составного прямоугольника будут $1 \times 2$. Вершина $A$ окажется в одном углу этого прямоугольника, а вершина $C_1$ — в диагонально противоположном углу.

Кратчайший путь в этом случае — это диагональ данного прямоугольника. Её длину $L$ можно вычислить с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются стороны этого прямоугольника: $L = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

В силу симметрии куба, любой другой возможный путь по двум граням (например, по граням $ADD_1A_1$ и $DCC_1D_1$) после развертки даст такой же результат. Путь, пересекающий более двух граней, будет длиннее. Следовательно, найденная длина является минимальной.

Ответ: $\sqrt{5}$.

1.30. Может ли невыпуклый многоугольник быть гранью выпуклого многогранника?

Нет, невыпуклый многоугольник не может быть гранью выпуклого многогранника. Приведем доказательство этого утверждения.

Воспользуемся определением выпуклого многогранника. Выпуклый многогранник — это такой многогранник, который целиком лежит по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней. Другое эквивалентное определение гласит, что отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многогранника, полностью содержится в этом многограннике.

Допустим от противного, что существует выпуклый многогранник $M$, одна из граней которого, обозначим ее $F$, является невыпуклым многоугольником.

Поскольку многоугольник $F$ является невыпуклым, это означает, что найдутся две точки $A$ и $B$, лежащие внутри этого многоугольника, такие, что отрезок $[AB]$ не полностью принадлежит многоугольнику $F$. То есть, как минимум одна точка отрезка $[AB]$ находится вне многоугольника $F$.

С другой стороны, грань $F$ по определению является частью многогранника $M$. Значит, точки $A$ и $B$, принадлежащие грани $F$, также принадлежат и многограннику $M$.

Так как многогранник $M$ по нашему допущению является выпуклым, то, согласно его определению, весь отрезок $[AB]$ должен целиком принадлежать многограннику $M$.

Пусть $\pi$ — это плоскость, в которой лежит грань $F$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в грани $F$, они лежат и в плоскости $\pi$. Следовательно, и весь отрезок $[AB]$ лежит в этой плоскости.

Таким образом, мы получили, что отрезок $[AB]$ полностью лежит в плоскости $\pi$ и одновременно полностью принадлежит выпуклому многограннику $M$.

Пересечением выпуклого многогранника $M$ с плоскостью $\pi$, которая содержит его грань $F$, является сама грань $F$. Это фундаментальное свойство выпуклых многогранников. Из этого следует, что отрезок $[AB]$ как часть этого пересечения должен полностью принадлежать грани $F$.

Мы получили противоречие. Мы выбрали точки $A$ и $B$ так, что отрезок $[AB]$ не принадлежит полностью грани $F$, но из свойства выпуклости многогранника $M$ следует, что он обязан принадлежать грани $F$.

Данное противоречие означает, что наше первоначальное предположение неверно. Следовательно, все грани выпуклого многогранника обязаны быть выпуклыми многоугольниками.

Ответ: Нет, не может.

1.31. Всегда ли объединение выпуклых фигур является выпуклой фигурой?

Нет, объединение выпуклых фигур не всегда является выпуклой фигурой. Чтобы доказать это утверждение, достаточно привести хотя бы один контрпример.

Сначала вспомним определение: фигура называется выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры отрезок, соединяющий их, целиком принадлежит этой фигуре.

Рассмотрим в качестве контрпримера две выпуклые фигуры, которые не пересекаются. Пусть на плоскости заданы два круга:

1. Фигура $F_1$ — круг с центром в точке $A(-2, 0)$ и радиусом $r = 1$.
2. Фигура $F_2$ — круг с центром в точке $B(2, 0)$ и радиусом $r = 1$.

Каждый круг сам по себе является выпуклой фигурой. Теперь рассмотрим их объединение $F = F_1 \cup F_2$. Чтобы проверить, является ли фигура $F$ выпуклой, возьмем две точки, принадлежащие ей. Пусть одна точка — это центр первого круга $A(-2, 0)$, а вторая — центр второго круга $B(2, 0)$. Обе эти точки принадлежат фигуре $F$, так как $A \in F_1$ и $B \in F_2$.

Соединим эти точки отрезком $AB$. Рассмотрим любую точку на этом отрезке, находящуюся строго между $A$ и $B$. Например, возьмем середину отрезка — точку $O(0, 0)$. Проверим, принадлежит ли точка $O$ объединению $F$.

Расстояние от точки $O(0, 0)$ до центра круга $F_1$ (точки $A(-2, 0)$) равно $2$. Это больше, чем радиус круга ($2 > 1$), поэтому точка $O$ не принадлежит кругу $F_1$.

Аналогично, расстояние от точки $O(0, 0)$ до центра круга $F_2$ (точки $B(2, 0)$) также равно $2$, что больше радиуса. Следовательно, точка $O$ не принадлежит и кругу $F_2$.

Поскольку точка $O(0, 0)$ не принадлежит ни $F_1$, ни $F_2$, она не принадлежит и их объединению $F = F_1 \cup F_2$.

Таким образом, мы нашли две точки $A$ и $B$, принадлежащие фигуре $F$, но отрезок $AB$ не полностью содержится в этой фигуре. Это противоречит определению выпуклой фигуры. Следовательно, объединение двух выпуклых фигур (в данном случае, двух непересекающихся кругов) не является выпуклой фигурой.

Ответ: Нет, не всегда.