Страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.9. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его ребра увеличить в 3 раза?

1.9. Чтобы определить, во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, необходимо сравнить площадь поверхности исходного куба и нового куба с увеличенными ребрами.

1. Найдем площадь поверхности исходного куба. Пусть длина ребра исходного куба равна $a$. Куб имеет 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом. Площадь одной грани равна $a^2$. Площадь полной поверхности исходного куба ($S_1$) вычисляется по формуле:

$S_1 = 6 \cdot a^2$

2. Найдем площадь поверхности нового куба. По условию, ребро куба увеличили в 3 раза. Длина ребра нового куба стала равной $3a$. Площадь одной грани нового куба теперь составляет $(3a)^2 = 9a^2$. Площадь полной поверхности нового куба ($S_2$) будет:

$S_2 = 6 \cdot (3a)^2 = 6 \cdot 9a^2 = 54a^2$

3. Найдем отношение площадей. Чтобы узнать, во сколько раз увеличилась площадь, разделим площадь нового куба на площадь исходного:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{54a^2}{6a^2}$

Сократив $a^2$, получим:

$\frac{54}{6} = 9$

Таким образом, площадь поверхности куба увеличится в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.

1.10. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если все его ребра уменьшить в 2 раза?

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется как сумма площадей всех его шести граней. Так как противоположные грани равны, формула для площади поверхности $S$ имеет вид: $S = 2(ab + bc + ac)$

По условию задачи, каждое ребро параллелепипеда уменьшили в 2 раза. Обозначим новые размеры ребер как $a'$, $b'$ и $c'$: $a' = \frac{a}{2}$ $b' = \frac{b}{2}$ $c' = \frac{c}{2}$

Теперь вычислим новую площадь поверхности $S'$, используя новые размеры ребер: $S' = 2(a'b' + b'c' + a'c')$ Подставим значения новых ребер в формулу: $S' = 2\left(\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{b}{2}\right) + \left(\frac{b}{2}\right)\left(\frac{c}{2}\right) + \left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{c}{2}\right)\right)$

Упростим полученное выражение: $S' = 2\left(\frac{ab}{4} + \frac{bc}{4} + \frac{ac}{4}\right)$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки: $S' = 2 \cdot \frac{1}{4}(ab + bc + ac)$ $S' = \frac{1}{4} \cdot [2(ab + bc + ac)]$

Поскольку выражение в квадратных скобках является исходной площадью поверхности $S$, мы можем записать: $S' = \frac{1}{4}S$

Чтобы определить, во сколько раз уменьшилась площадь, найдем отношение исходной площади $S$ к новой площади $S'$: $\frac{S}{S'} = \frac{S}{\frac{1}{4}S} = 4$

Следовательно, площадь поверхности параллелепипеда уменьшится в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

1.11. Во сколько раз увеличится площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в два раза?

Площадь поверхности любого геометрического тела, в том числе призмы, представляет собой сумму площадей всех его граней. Каждая грань призмы (основания и боковые грани) является многоугольником.

Рассмотрим, как изменится площадь произвольного многоугольника, если все его стороны увеличить в $k$ раз. Площадь любой плоской фигуры пропорциональна квадрату ее линейных размеров. Например, площадь квадрата со стороной $a$ равна $S=a^2$. Если сторону увеличить в $k$ раз до $ka$, то новая площадь составит $S'=(ka)^2 = k^2 a^2 = k^2 S$. Этот принцип справедлив для любого многоугольника: если все его линейные размеры (стороны, высоты и т.д.) увеличить в $k$ раз, то его площадь увеличится в $k^2$ раз.

В условии задачи говорится, что все ребра призмы увеличиваются в два раза. Следовательно, коэффициент подобия $k=2$.

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности $S_{бок}$ и удвоенной площади основания $S_{осн}$: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Поскольку все ребра призмы увеличиваются в 2 раза, это означает, что линейные размеры каждой грани (как оснований, так и боковых граней) также увеличиваются в 2 раза. Вследствие этого площадь каждой отдельной грани увеличится в $2^2 = 4$ раза.

Пусть $S_{осн.исх}$ и $S_{бок.исх}$ — исходные площади основания и боковой поверхности соответственно. Тогда новая площадь основания будет $S_{осн.нов} = 4 \cdot S_{осн.исх}$, а новая площадь боковой поверхности — $S_{бок.нов} = 4 \cdot S_{бок.исх}$.

Новая площадь полной поверхности призмы $S_{полн.нов}$ будет равна:$S_{полн.нов} = S_{бок.нов} + 2S_{осн.нов} = 4 \cdot S_{бок.исх} + 2 \cdot (4 \cdot S_{осн.исх}) = 4 \cdot (S_{бок.исх} + 2S_{осн.исх}) = 4 \cdot S_{полн.исх}$.

Таким образом, при увеличении всех ребер призмы в два раза, площадь ее полной поверхности увеличится в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

1.12. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны 5, 4, 3.

1.12. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту. В условии задачи даны длины трех ребер, выходящих из одной вершины, что и соответствует этим трем измерениям. Обозначим их как $a$, $b$ и $c$.

По условию: $a = 5$, $b = 4$, $c = 3$.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести граней (трех пар одинаковых прямоугольников). Площадь полной поверхности $S$ вычисляется по формуле:$S = 2(ab + ac + bc)$

Эта формула представляет собой удвоенную сумму площадей трех различных граней:

• Площадь двух граней (например, основания и верхней грани) равна $2 \cdot ab$.
• Площадь двух других граней (например, передней и задней) равна $2 \cdot ac$.
• Площадь оставшихся двух боковых граней равна $2 \cdot bc$.

Подставим числовые значения ребер в формулу:$S = 2(5 \cdot 4 + 5 \cdot 3 + 4 \cdot 3)$

Выполним действия в скобках:$S = 2(20 + 15 + 12)$$S = 2(47)$

Вычислим окончательное значение:$S = 94$

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 94 квадратным единицам.

Ответ: 94.

1.13. Найдите площадь поверхности правильной треугольной призмы, ребра которой равны 1 (рис. 1.13).

$A$ $B$ $C$ $A_1$ $B_1$ $C_1$

Рис. 1.13

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$). Формула имеет вид:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Согласно условию, призма является правильной треугольной, и все ее ребра равны 1.

Это означает, что в основании призмы лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 1$. Боковые грани являются тремя равными прямоугольниками (в данном случае — квадратами), так как боковое ребро (высота призмы) также равно 1 ($h = 1$).

1. Вычислим площадь основания ($S_{осн}$). Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставляя $a=1$, получаем:

$S_{осн} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

2. Вычислим площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Она состоит из трех одинаковых квадратов со стороной 1. Площадь одного такого квадрата равна $1 \cdot 1 = 1$. Следовательно, площадь боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 3 \cdot 1^2 = 3$

3. Найдем площадь полной поверхности призмы, подставив найденные значения в исходную формулу:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 3 + 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) = 3 + \frac{2\sqrt{3}}{4} = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

1.14. Найдите площадь поверхности правильной шестиугольной призмы, ребра которой равны 1 (рис. 1.14).

Рис. 1.14

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ — это площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь одного основания.

Так как призма правильная шестиугольная, в ее основаниях лежат два правильных шестиугольника, а боковые грани представляют собой шесть одинаковых прямоугольников. По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Это значит, что сторона основания $a = 1$, а высота призмы $h$ (равная длине бокового ребра) также равна 1.

Найдем площадь боковой поверхности. Она состоит из шести квадратов со стороной 1. Площадь одного такого квадрата равна $1 \cdot 1 = 1$. Следовательно, площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 6 \cdot 1 = 6$.

Теперь найдем площадь основания. Правильный шестиугольник со стороной $a$ можно разбить на шесть равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставив $a=1$, получаем: $S_{\triangle} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. Тогда площадь всего шестиугольного основания: $S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Наконец, вычислим площадь полной поверхности призмы, сложив площадь боковой поверхности и площади двух оснований: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 6 + 2 \cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = 6 + 3\sqrt{3}$.

Ответ: $6 + 3\sqrt{3}$.

1.15. Какие из изображенных на рисунке 1.15 фигур являются разверт-ками куба?

1.15. Развертка куба — это плоская фигура, состоящая из шести соединенных сторонами квадратов, которую можно сложить так, чтобы получился куб. Чтобы определить, является ли фигура разверткой куба, нужно провести мысленный эксперимент по ее сворачиванию.

Существуют общие принципы для проверки:

1. Количество квадратов. Фигура должна состоять ровно из шести квадратов, поскольку у куба шесть граней. Фигура с любым другим количеством квадратов не может быть разверткой куба.

2. Способ соединения. Квадраты должны быть соединены сторонами (а не только углами). Все шесть квадратов должны составлять единую фигуру (полимино).

3. Проверка на сворачиваемость. Это основной этап. Нужно мысленно выбрать один из квадратов в качестве основания куба и "поднимать" соседние квадраты, формируя боковые стенки. Затем проверить, могут ли оставшиеся квадраты образовать недостающие стенки и верхнюю грань ("крышку") без перекрытий и зазоров.

Простой способ исключения неверных вариантов:

• Если в ряду расположены четыре квадрата, то можно представить, что средние два образуют боковые стенки, один — основание, а другой — противоположную боковую стенку. Два оставшихся квадрата в развертке должны примыкать к "боковым" квадратам и становиться второй парой противоположных боковых стенок или основанием и крышкой.

• Найдите пары противоположных граней. В развертке они никогда не имеют общей стороны. Если при сворачивании два квадрата накладываются друг на друга (например, оба становятся "крышкой"), то это не развертка куба.

Всего существует 11 различных видов разверток куба (если не считать их повороты и зеркальные отражения).

Поскольку в предоставленном задании отсутствует сам рисунок 1.15 с фигурами, дать конкретный ответ, какие из них являются развертками куба, невозможно. Для решения задачи необходимо видеть эти фигуры и проанализировать каждую из них согласно изложенным выше правилам.

Ответ: Невозможно дать ответ, так как отсутствует рисунок 1.15, на котором изображены фигуры.

1.16. Диагональ куба равна 1. Найдите ребра этого куба.

1.16. Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей диагональ куба $d$ и его ребро $a$.

Диагональ куба, ребро куба и диагональ грани куба образуют прямоугольный треугольник. Пусть ребро куба равно $a$.

Сначала найдем квадрат диагонали грани куба ($d_г$) по теореме Пифагора. Грань куба — это квадрат со стороной $a$. $d_г^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются ребро куба $a$ и диагональ грани $d_г$, а гипотенузой — диагональ куба $d$. По теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + d_г^2$

Подставим найденное значение $d_г^2$: $d^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

Отсюда получаем формулу для диагонали куба: $d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

По условию задачи, диагональ куба $d = 1$. Подставим это значение в формулу и найдем $a$: $1 = a\sqrt{3}$

Выразим $a$: $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$: $a = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

1.16. Диагональ куба равна 1. Найдите ребра этого куба.

1.16. Пусть ребро куба равно $a$, а его диагональ равна $d$.
Связь между диагональю куба и его ребром можно найти с помощью теоремы Пифагора. Сначала найдем диагональ $d_f$ одной из граней куба. Грань куба — это квадрат со стороной $a$. Диагональ грани является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $a$.
$d_f^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$d_f = a\sqrt{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю куба $d$, ребром $a$ и диагональю грани $d_f$. В этом треугольнике диагональ куба $d$ является гипотенузой.
$d^2 = a^2 + d_f^2$
Подставим выражение для $d_f^2$:
$d^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$
Отсюда получаем формулу для диагонали куба:
$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

По условию задачи, диагональ куба $d = 1$. Подставим это значение в формулу:
$1 = a\sqrt{3}$
Выразим ребро $a$:
$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$a = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

1.17. Правильная шестиугольная призма — это призма, у которой в основаниях лежат два правильных шестиугольника, а боковые грани являются прямоугольниками.
Развёртка — это плоская фигура, которую можно согнуть по определённым линиям для получения объёмной фигуры.

Развёртка правильной шестиугольной призмы состоит из:
1. Боковой поверхности, которая представляет собой один большой прямоугольник, разделённый на шесть одинаковых смежных прямоугольников. Ширина каждого из этих малых прямоугольников равна стороне шестиугольного основания, а высота равна высоте призмы.
2. Двух правильных шестиугольников, которые являются основаниями призмы. Эти шестиугольники примыкают к боковой развёртке.

Ниже представлен один из возможных вариантов развёртки правильной шестиугольной призмы. Боковая поверхность развёрнута в полосу из шести прямоугольников, а два шестиугольных основания прикреплены к противоположным сторонам одного из этих прямоугольников.



Ответ: См. описание и рисунок выше.

1.18. Найдите диагонали правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1.

По условию задачи, мы имеем правильную шестиугольную призму, у которой все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a = 1$, и высота призмы (длина бокового ребра) также равна $h = 1$.

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Длину диагонали призмы $d$ можно найти по формуле $d^2 = h^2 + d_{осн}^2$, где $h$ — высота призмы, а $d_{осн}$ — это длина соответствующей диагонали основания.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 1$. У такого шестиугольника есть диагонали двух разных длин. Соответственно, у призмы также будут два типа диагоналей.

Нахождение первой диагонали призмы

Сначала найдем длину меньшей диагонали основания. Эта диагональ соединяет вершины через одну (например, диагональ $AC$ в шестиугольнике $ABCDEF$). Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором стороны $AB = BC = 1$, а угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов:

$d_{осн1}^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.

Таким образом, длина меньшей диагонали основания равна $d_{осн1} = \sqrt{3}$.

Теперь найдем длину соответствующей диагонали призмы, которая опирается на эту диагональ основания. Ее квадрат длины равен сумме квадратов высоты призмы и диагонали основания:

$d_1^2 = h^2 + d_{осн1}^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

Отсюда, первая диагональ призмы равна $d_1 = \sqrt{4} = 2$.

Нахождение второй диагонали призмы

Далее найдем длину большей диагонали основания. Эта диагональ проходит через центр шестиугольника и соединяет противоположные вершины (например, $AD$). Ее длина равна удвоенной стороне шестиугольника:

$d_{осн2} = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

Найдем длину соответствующей диагонали призмы, опирающейся на большую диагональ основания. Ее квадрат длины также равен сумме квадратов высоты и диагонали основания:

$d_2^2 = h^2 + d_{осн2}^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

Следовательно, вторая диагональ призмы равна $d_2 = \sqrt{5}$.

Таким образом, у данной призмы есть диагонали двух различных длин.

Ответ: длины диагоналей призмы равны 2 и $\sqrt{5}$.

1.19. Стороны основания правильной шестиугольной призмы равны 1. Ее большая диагональ равна 3. Найдите высоту этой призмы.

а) б) в) г) д) е) ж) з)

Рис. 1.15

1.19. Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, $h$ — её высота, $d$ — большая диагональ основания, и $D$ — большая диагональ призмы. По условию задачи, сторона основания $a = 1$, а большая диагональ призмы $D = 3$.

Основанием призмы является правильный шестиугольник. Большая диагональ правильного шестиугольника соединяет две самые удаленные друг от друга вершины и её длина в два раза больше длины стороны шестиугольника. Таким образом, длина большей диагонали основания $d$ вычисляется по формуле: $d = 2a$

Подставляя известное значение $a = 1$, находим длину диагонали основания: $d = 2 \cdot 1 = 2$

Большая диагональ призмы $D$, её высота $h$ и большая диагональ основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике большая диагональ призмы $D$ является гипотенузой, а высота $h$ и большая диагональ основания $d$ — катетами. Согласно теореме Пифагора, их длины связаны соотношением: $D^2 = h^2 + d^2$

Из этой формулы выразим квадрат высоты $h^2$: $h^2 = D^2 - d^2$

Теперь подставим известные значения $D = 3$ и $d = 2$ в полученное выражение: $h^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$

Следовательно, высота призмы $h$ равна: $h = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$