Номер 1.11, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.11. Во сколько раз увеличится площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в два раза?

Площадь поверхности любого геометрического тела, в том числе призмы, представляет собой сумму площадей всех его граней. Каждая грань призмы (основания и боковые грани) является многоугольником.

Рассмотрим, как изменится площадь произвольного многоугольника, если все его стороны увеличить в $k$ раз. Площадь любой плоской фигуры пропорциональна квадрату ее линейных размеров. Например, площадь квадрата со стороной $a$ равна $S=a^2$. Если сторону увеличить в $k$ раз до $ka$, то новая площадь составит $S'=(ka)^2 = k^2 a^2 = k^2 S$. Этот принцип справедлив для любого многоугольника: если все его линейные размеры (стороны, высоты и т.д.) увеличить в $k$ раз, то его площадь увеличится в $k^2$ раз.

В условии задачи говорится, что все ребра призмы увеличиваются в два раза. Следовательно, коэффициент подобия $k=2$.

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности $S_{бок}$ и удвоенной площади основания $S_{осн}$: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Поскольку все ребра призмы увеличиваются в 2 раза, это означает, что линейные размеры каждой грани (как оснований, так и боковых граней) также увеличиваются в 2 раза. Вследствие этого площадь каждой отдельной грани увеличится в $2^2 = 4$ раза.

Пусть $S_{осн.исх}$ и $S_{бок.исх}$ — исходные площади основания и боковой поверхности соответственно. Тогда новая площадь основания будет $S_{осн.нов} = 4 \cdot S_{осн.исх}$, а новая площадь боковой поверхности — $S_{бок.нов} = 4 \cdot S_{бок.исх}$.

Новая площадь полной поверхности призмы $S_{полн.нов}$ будет равна:$S_{полн.нов} = S_{бок.нов} + 2S_{осн.нов} = 4 \cdot S_{бок.исх} + 2 \cdot (4 \cdot S_{осн.исх}) = 4 \cdot (S_{бок.исх} + 2S_{осн.исх}) = 4 \cdot S_{полн.исх}$.

Таким образом, при увеличении всех ребер призмы в два раза, площадь ее полной поверхности увеличится в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.