Страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.20. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2. Каким должно быть третье ребро, выходящее из той же вершины, чтобы площадь поверхности этого параллелепипеда равнялась 40?

Пусть ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, имеют длины $a$, $b$ и $c$.

Из условия задачи нам известно, что два ребра равны 2. Пусть $a = 2$ и $b = 2$. Третье ребро $c$ нам предстоит найти.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$S = 2(ab + ac + bc)$

По условию, площадь поверхности равна 40. Подставим известные значения в формулу:

$40 = 2(2 \cdot 2 + 2 \cdot c + 2 \cdot c)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $c$.

$40 = 2(4 + 4c)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$20 = 4 + 4c$

Перенесем 4 в левую часть уравнения:

$20 - 4 = 4c$

$16 = 4c$

Найдем $c$, разделив обе части на 4:

$c = \frac{16}{4}$

$c = 4$

Следовательно, длина третьего ребра должна быть равна 4.

Ответ: 4.

1.21 Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.16.

а)

б)

Рис. 1.16

a) Для нахождения площади поверхности детали разделим ее на два прямоугольных параллелепипеда. Первый, нижний блок, имеет размеры: длина $a_1 = 2$, ширина $b_1 = 2$ и высота $c_1 = 1$. Второй, верхний блок, имеет размеры: длина $a_2 = 1$, ширина $b_2 = 2$ и высота $c_2 = 1$. Верхний блок расположен на левой части нижнего блока.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$.
Найдем площадь поверхности нижнего блока:
$S_1 = 2(a_1 b_1 + a_1 c_1 + b_1 c_1) = 2(2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2(4 + 2 + 2) = 2 \cdot 8 = 16$.
Найдем площадь поверхности верхнего блока:
$S_2 = 2(a_2 b_2 + a_2 c_2 + b_2 c_2) = 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2(2 + 1 + 2) = 2 \cdot 5 = 10$.
При соединении двух блоков часть их поверхностей соприкасается и не является внешней поверхностью детали. Площадь соприкосновения равна площади основания верхнего блока: $S_{конт} = a_2 \cdot b_2 = 1 \cdot 2 = 2$. Эту площадь нужно вычесть дважды (по одному разу из площади поверхности каждого блока).
Общая площадь поверхности детали равна:
$S = S_1 + S_2 - 2 \cdot S_{конт} = 16 + 10 - 2 \cdot 2 = 26 - 4 = 22$.
Ответ: 22.

b) Данная деталь представляет собой лестницу из трех ступеней. Для нахождения площади ее поверхности вычислим площади всех ее граней и сложим их.
Исходя из размеров на рисунке, каждая ступень имеет высоту 1 и ширину 2. Общая длина детали 3, общая высота 3, общая ширина 2.
1. Площадь основания (нижняя грань): $S_{осн} = 3 \cdot 2 = 6$.
2. Площадь верхних граней (три ступеньки). Длина каждой ступеньки равна 1 ($3-2=1$, $2-1=1$, $1$). Площадь каждой ступеньки $1 \cdot 2 = 2$. Общая площадь верхних граней: $S_{верхн} = 3 \cdot (1 \cdot 2) = 6$.
3. Площадь задней грани. Это прямоугольник с размерами, равными общей высоте и общей ширине детали: $S_{задн} = 3 \cdot 2 = 6$.
4. Площадь передних граней (три вертикальные планки). Каждая имеет высоту 1 и ширину 2. Общая площадь передних граней: $S_{передн} = 3 \cdot (1 \cdot 2) = 6$.
5. Площадь боковых граней (левой и правой). Они одинаковы и имеют форму ступенчатого профиля. Площадь одного профиля равна сумме площадей трех прямоугольников $1 \times 1$, $1 \times 2$, $1 \times 3$. Нет, площадь профиля равна $1 \cdot 1 + (1+1) \cdot 1 + (1+1+1) \cdot 1 = 1+2+3=6$. Общая площадь двух боковых граней: $S_{бок} = 2 \cdot 6 = 12$.
Суммируем площади всех граней:
$S = S_{осн} + S_{верхн} + S_{задн} + S_{передн} + S_{бок} = 6 + 6 + 6 + 6 + 12 = 36$.
Ответ: 36.

1.22 Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.17.

а)

б)

Рис. 1.17

а) Площадь поверхности детали можно найти, сложив площади всех ее граней. Деталь представляет собой прямоугольный параллелепипед с внешними размерами 3x4x4, из которого сверху вырезан паз (углубление) размером 1x4x2.
Найдем площади отдельных частей поверхности и сложим их:
1. Площадь передней и задней граней. Каждая из них представляет собой прямоугольник размером 3x4, из которого вверху вырезана область размером 1x2. Площадь одной такой грани равна $3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 12 - 2 = 10$. Так как граней две, их общая площадь:
$S_{1} = 2 \cdot 10 = 20$.
2. Площадь боковых внешних граней (левой и правой). Это два одинаковых прямоугольника размером 4x4. Их общая площадь:
$S_{2} = 2 \cdot (4 \cdot 4) = 2 \cdot 16 = 32$.
3. Площадь нижней грани. Это прямоугольник размером 3x4.
$S_{3} = 3 \cdot 4 = 12$.
4. Площадь верхней грани. Она состоит из двух прямоугольных "плечиков" по бокам от паза, каждый размером 1x4. Их общая площадь:
$S_{4} = 2 \cdot (1 \cdot 4) = 8$.
5. Площадь внутренней поверхности паза. Она состоит из двух боковых стенок размером 2x4 и дна размером 1x4.
$S_{5} = 2 \cdot (2 \cdot 4) + (1 \cdot 4) = 16 + 4 = 20$.
6. Общая площадь поверхности детали равна сумме всех этих площадей:
$S_{общ} = S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4} + S_{5} = 20 + 32 + 12 + 8 + 20 = 92$.
Ответ: 92.

б) Данная деталь — это куб с ребром 4, через который проделано сквозное квадратное отверстие со стороной 2. Площадь ее поверхности можно найти, вычислив площадь поверхности исходного куба, вычтя из нее площади вырезанных на входе и выходе отверстий и прибавив площадь образовавшейся внутренней поверхности.
1. Найдем площадь поверхности исходного куба с ребром $a = 4$.
$S_{куб} = 6a^2 = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96$.
2. При создании сквозного отверстия с передней и задней граней куба удаляются два квадрата со стороной 2. Найдем их общую площадь (площадь "потерянной" поверхности).
$S_{потерянная} = 2 \cdot (2 \cdot 2) = 2 \cdot 4 = 8$.
3. Внутри детали образуется новая поверхность — стенки внутреннего "туннеля". Это четыре прямоугольника, каждый размером 2x4 (где 2 - сторона внутреннего квадрата, 4 - глубина детали). Найдем их общую площадь (площадь "добавленной" поверхности).
$S_{добавленная} = 4 \cdot (2 \cdot 4) = 4 \cdot 8 = 32$.
4. Общая площадь поверхности детали равна площади исходного куба минус площадь потерянной поверхности плюс площадь добавленной поверхности.
$S_{общ} = S_{куб} - S_{потерянная} + S_{добавленная} = 96 - 8 + 32 = 120$.
Ответ: 120.

1.23 Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.18.

а)

б)

Рис. 1.18

а)

Для нахождения площади поверхности детали а) можно использовать несколько методов. Рассмотрим метод сложения площадей всех её граней.Деталь представляет собой прямоугольный параллелепипед с размерами 3 (длина), 2 (ширина) и 2 (высота), из которого сверху вырезан паз.Размеры паза: длина 2 (во всю ширину детали), ширина 1, глубина 1.Площадь поверхности состоит из следующих частей:

1. Площадь передней и задней граней. Каждая из них представляет собой U-образную фигуру. Её площадь можно рассчитать как площадь прямоугольника 3x2 за вычетом площади выреза 1x1.$S_{перед} = S_{зад} = (3 \cdot 2) - (1 \cdot 1) = 6 - 1 = 5$.Суммарная площадь: $5 + 5 = 10$.

2. Площадь левой и правой боковых граней. Это прямоугольники размером 2x2.$S_{левая} = S_{правая} = 2 \cdot 2 = 4$.Суммарная площадь: $4 + 4 = 8$.

3. Площадь нижней грани (основания). Это прямоугольник размером 3x2.$S_{низ} = 3 \cdot 2 = 6$.

4. Площадь верхних граней. Это две прямоугольные площадки по бокам от паза. Каждая имеет размеры 1x2.$S_{верх} = 2 \cdot (1 \cdot 2) = 4$.

5. Площадь внутренних граней паза. Паз добавляет три новые поверхности: дно и две боковые стенки.- Дно паза: прямоугольник 1x2. $S_{дно\_паза} = 1 \cdot 2 = 2$.- Боковые стенки паза: два прямоугольника размером 1x2 (глубина паза 1, длина паза 2). $S_{стенки\_паза} = 2 \cdot (1 \cdot 2) = 4$.

Общая площадь поверхности - это сумма площадей всех перечисленных граней:$S_{общая} = (S_{перед} + S_{зад}) + (S_{левая} + S_{правая}) + S_{низ} + S_{верх} + S_{дно\_паза} + S_{стенки\_паза}$$S_{общая} = 10 + 8 + 6 + 4 + 2 + 4 = 34$.

Ответ: 34.

б)

Деталь б) представляет собой куб с ребром 2, из одного угла которого вырезан куб с ребром 1.Для нахождения площади поверхности такой фигуры удобно использовать метод "окаймляющего параллелепипеда".

1. Представим, что деталь является цельным кубом с ребром 2. Площадь поверхности такого куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ - длина ребра.$S_{куб} = 6 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4 = 24$.

2. Теперь рассмотрим, как изменилась площадь поверхности после того, как из угла вырезали маленький куб с ребром 1.- При вырезании углового кубика исчезли три его грани, которые были частью поверхности большого куба (верхняя, передняя и правая). Площадь каждой такой грани равна $1 \cdot 1 = 1$. Суммарная удаленная площадь: $3 \cdot 1 = 3$.- Одновременно с этим обнажились три внутренние грани маленького кубика (нижняя, задняя и левая), которые стали частью новой поверхности. Площадь каждой из этих новых граней также равна $1 \cdot 1 = 1$. Суммарная добавленная площадь: $3 \cdot 1 = 3$.

3. Таким образом, общая площадь поверхности не изменилась: мы убрали 3 единицы площади и добавили 3 единицы площади.$S_{детали} = S_{куб} - 3 + 3 = S_{куб} = 24$.

Можно также проверить, сложив площади всех 9 граней фигуры:- 3 большие грани (нижняя, задняя, левая): $3 \cdot (2 \cdot 2) = 12$.- 3 L-образные грани (верхняя, передняя, правая): $3 \cdot (2^2 - 1^2) = 3 \cdot 3 = 9$.- 3 внутренние грани от выреза: $3 \cdot (1 \cdot 1) = 3$.$S_{общая} = 12 + 9 + 3 = 24$.

Ответ: 24.