Страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Напишите формулу площади поверхности куба, ребра которого равны $a$.

$S = 6a^2$

Напишите формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны $a$, $b$.

$S = 2(ab + ac + bc)$

Напишите формулу площади поверхности куба, ребра которого равны a.

Куб — это правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Всего у куба 6 граней, и все они равны между собой. Длина ребра куба по условию равна a.

Площадь одной грани куба, являющейся квадратом со стороной a, вычисляется по формуле площади квадрата: $S_{грани} = a \cdot a = a^2$.

Площадь полной поверхности куба (S) равна сумме площадей всех его шести граней. Так как все грани одинаковы, для нахождения общей площади нужно умножить площадь одной грани на 6.

Формула площади поверхности куба: $S = 6 \cdot S_{грани} = 6a^2$.

Ответ: $S = 6a^2$.

Напишите формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны a, b.

Прямоугольный параллелепипед — это объемная фигура, у которой 6 граней, и все они являются прямоугольниками. Из каждой вершины выходят три ребра, перпендикулярные друг другу. Эти ребра определяют три измерения параллелепипеда: длину, ширину и высоту.

В условии задачи указаны только два ребра, выходящие из одной вершины: a и b. Для нахождения площади поверхности необходимы все три измерения. Вероятнее всего, в условии имеется в виду общий случай, а третье измерение (ребро) пропущено. Обозначим его как c. Таким образом, измерения параллелепипеда равны a, b и c.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из трех пар равных прямоугольных граней:
1. Две грани (основания) с ребрами a и b. Площадь каждой из них равна $ab$. Суммарная площадь этой пары: $2ab$.
2. Две грани (передняя и задняя) с ребрами a и c. Площадь каждой из них равна $ac$. Суммарная площадь этой пары: $2ac$.
3. Две грани (боковые) с ребрами b и c. Площадь каждой из них равна $bc$. Суммарная площадь этой пары: $2bc$.

Площадь полной поверхности (S) вычисляется как сумма площадей всех шести граней:
$S = 2ab + 2ac + 2bc$.

Для удобства можно вынести общий множитель 2 за скобки: $S = 2(ab + ac + bc)$.

Ответ: $S = 2(ab + ac + bc)$.

Вопросы

1. Что называется многогранником?

2. Какой многогранник называется кубом?

3. Что называется диагональю куба?

4. Какой многогранник называется параллелепипедом?

5. Что называется диагональю параллелепипеда?

6. Какой многогранник называется призмой?

7. Какая призма называется правильной?

8. Что называется высотой призмы?

9. Что называется диагональю призмы?

10. Какой многогранник называется выпуклым?

11. Что называется разверткой многогранника?

12. Что называется площадью поверхности многогранника?

13. Как находится площадь поверхности призмы?

1. Что называется многогранником?

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника.

Ответ: Тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

2. Какой многогранник называется кубом?

Кубом, или правильным гексаэдром, называется правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Другое определение: куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны. Все 6 граней куба – равные квадраты, все 12 ребер равны.

Ответ: Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

3. Что называется диагональю куба?

Диагональю куба называется отрезок, который соединяет две вершины куба, не принадлежащие одной и той же грани. У куба всего четыре диагонали, и все они равны по длине и пересекаются в одной точке – центре куба. Длина диагонали куба с ребром $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{3}$.

Ответ: Отрезок, соединяющий две симметричные относительно центра куба вершины (или две вершины, не принадлежащие одной грани).

4. Какой многогранник называется параллелепипедом?

Параллелепипедом называется многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них – параллелограмм. Это призма, в основании которой лежит параллелограмм. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Ответ: Призма, основанием которой является параллелограмм.

5. Что называется диагональю параллелепипеда?

Диагональю параллелепипеда называется отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани. У любого параллелепипеда есть четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Для прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a, b, c$ квадрат длины диагонали равен сумме квадратов его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Ответ: Отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани.

6. Какой многогранник называется призмой?

Призмой называется многогранник, который состоит из двух равных многоугольников (оснований), лежащих в параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Грани, не являющиеся основаниями, называются боковыми гранями и являются параллелограммами.

Ответ: Многогранник, состоящий из двух равных оснований в параллельных плоскостях и боковых граней-параллелограммов.

7. Какая призма называется правильной?

Правильной призмой называется прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник (то есть многоугольник, у которого все стороны и все углы равны). У правильной призмы боковые грани являются равными прямоугольниками.

Ответ: Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

8. Что называется высотой призмы?

Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из любой точки плоскости одного основания на плоскость другого основания. Длина этого перпендикуляра также называется высотой. У прямой призмы высота равна длине бокового ребра.

Ответ: Расстояние между плоскостями оснований призмы.

9. Что называется диагональю призмы?

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины призмы, которые не принадлежат одной и той же грани (ни боковой, ни основанию). Например, в четырехугольной призме диагональ соединяет вершину верхнего основания с вершиной нижнего основания, не лежащей с ней в одной боковой грани.

Ответ: Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

10. Какой многогранник называется выпуклым?

Многогранник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней. Эквивалентное определение: многогранник является выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его точки, полностью принадлежит этому многограннику.

Ответ: Многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

11. Что называется разверткой многогранника?

Разверткой многогранника называется плоская фигура, состоящая из его граней, которую можно "сложить" по ребрам, чтобы получить исходный многогранник. Это представление поверхности многогранника на плоскости, полученное путем его разрезания по нескольким ребрам.

Ответ: Плоская фигура, из которой можно сложить поверхность многогранника.

12. Что называется площадью поверхности многогранника?

Площадью поверхности (или площадью полной поверхности) многогранника называется сумма площадей всех его граней. Различают также площадь боковой поверхности – сумму площадей только боковых граней (например, у призм и пирамид).

Ответ: Сумма площадей всех граней многогранника.

13. Как находится площадь поверхности призмы?

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площади ее боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух ее оснований ($S_{осн}$). Это выражается формулой: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$. Для прямой призмы площадь боковой поверхности можно найти как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$): $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.

Ответ: Сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

1.1. На листе бумаги в клетку изобразите куб и параллелепипед, аналогичные данным на рисунке 1.8.

а)

б)

Рис. 1.8

a) Чтобы изобразить параллелепипед, аналогичный представленному на рисунке а), необходимо выполнить следующие шаги на листе бумаги в клетку:

1. Начните с построения передней видимой грани. Это прямоугольник, ширина которого составляет 4 клетки, а высота — 5 клеток. Нарисуйте его сплошными линиями.

2. Теперь построим заднюю грань. Для этого от каждой вершины нарисованного прямоугольника отступите на 2 клетки влево и на 2 клетки вверх. Полученные четыре точки будут вершинами задней грани.

3. Соедините вершины задней грани, чтобы получился такой же прямоугольник размером 4x5 клеток. Обратите внимание, что задняя грань частично невидима. Ее нижнее и левое ребра следует рисовать пунктирной линией.

4. Соедините соответствующие вершины передней и задней граней. Три ребра, которые соединяют верхнюю левую, верхнюю правую и нижнюю правую вершины, являются видимыми, их нужно рисовать сплошной линией. Ребро, соединяющее нижние левые вершины, невидимо, поэтому его изображают пунктиром.

Ответ: На листе в клетку построен параллелепипед. Его передняя грань — прямоугольник 4x5 клеток. Глубина фигуры показана смещением задней грани на 2 клетки влево и 2 клетки вверх относительно передней.

б) Чтобы изобразить куб, аналогичный представленному на рисунке б), выполните следующие шаги на листе бумаги в клетку:

1. Нарисуйте переднюю грань куба. Это квадрат со стороной 4 клетки. Все его стороны рисуются сплошной линией.

2. Для определения положения задней грани отступите от каждой вершины нарисованного квадрата на 2 клетки влево и 2 клетки вверх. Это будут вершины задней грани.

3. Соедините полученные точки, чтобы нарисовать заднюю грань — квадрат со стороной 4 клетки. Его нижнее и левое ребра будут невидимыми, поэтому их следует изобразить пунктирной линией.

4. Соедините соответствующие вершины передней и задней граней. Ребра, идущие от верхней левой, верхней правой и нижней правой вершин, видимы и рисуются сплошными линиями. Ребро, идущее от нижней левой вершины, является невидимым и рисуется пунктирной линией.

Ответ: На листе в клетку построен куб. Его передняя грань — квадрат 4x4 клетки. Глубина фигуры показана смещением задней грани на 2 клетки влево и 2 клетки вверх относительно передней.

1.2. На листе бумаги в клетку изобразите призмы, аналогичные данным на рисунке 1.9.

а)

б)

Рис. 1.9

а)

Чтобы нарисовать на клетчатой бумаге фигуру, аналогичную рисунку 1.9 а), необходимо отметить точки по координатам и соединить их. За начало координат (0, 0) примем левый нижний угол воображаемой сетки, в которую вписана фигура.
1. Отметьте на бумаге следующие точки (вершины):
- A (2, 5)
- B (6, 5)
- C (4, 7)
- D (2, 1)
- E (6, 1)
- F (4, 2) (это скрытая вершина)
2. Соедините сплошными (видимыми) линиями следующие пары точек:
- A и B
- B и C
- C и A
- A и D
- B и E
3. Соедините пунктирными (невидимыми) линиями следующие пары точек:
- D и F
- E и F
4. Также проведите две пунктирные вертикальные линии: одну от вершины C(4, 7) вниз до точки (4, 5), и другую — от скрытой вершины F(4, 2) вверх до той же точки (4, 5). Эта точка (4, 5) находится на середине отрезка AB.
В результате вы получите изображение фигуры, точно повторяющее показанную на рисунке.

Ответ: Изображение, построенное по приведенной инструкции.

б)

Чтобы нарисовать шестиугольную призму, аналогичную рисунку 1.9 б), необходимо отметить на клетчатой бумаге вершины по координатам и соединить их. За начало координат (0, 0) примем левый нижний угол воображаемой сетки.
1. Отметьте вершины нижнего основания:
- B₁ (3, 1)
- B₂ (7, 1)
- B₃ (9, 2)
- B₄ (7, 3)
- B₅ (3, 3)
- B₆ (1, 2)
2. Отметьте вершины верхнего основания, которые получаются смещением каждой вершины нижнего основания на 4 клетки вверх:
- T₁ (3, 5)
- T₂ (7, 5)
- T₃ (9, 6)
- T₄ (7, 7)
- T₅ (3, 7)
- T₆ (1, 6)
3. Соедините точки сплошными (видимыми) линиями:
- Рёбра верхнего основания: T₁-T₂, T₂-T₃, T₃-T₄, T₄-T₅, T₅-T₆, T₆-T₁.
- Видимые боковые рёбра: B₁-T₁, B₂-T₂, B₃-T₃, B₆-T₆.
- Видимые рёбра нижнего основания: B₆-B₁, B₁-B₂, B₂-B₃.
4. Соедините точки пунктирными (невидимыми) линиями:
- Скрытые боковые рёбра: B₄-T₄, B₅-T₅.
- Скрытые рёбра нижнего основания: B₃-B₄, B₄-B₅, B₅-B₆.
В результате вы получите изображение прямой шестиугольной призмы, аналогичное показанному на рисунке.

Ответ: Изображение, построенное по приведенной инструкции.