Страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, имеющей:

а) $8$;

б) $10$;

в) $12$ ребер?

а)Чтобы определить, какой многоугольник лежит в основании пирамиды, необходимо найти связь между количеством ребер пирамиды и количеством сторон многоугольника в основании.
Пусть в основании пирамиды лежит многоугольник с $n$ сторонами (n-угольник). У этого многоугольника $n$ ребер. Кроме того, из каждой из $n$ вершин основания к вершине пирамиды проведено по одному боковому ребру. Таким образом, количество боковых ребер также равно $n$.
Общее количество ребер пирамиды, обозначим его $K$, равно сумме ребер основания и боковых ребер:$K = n (\text{ребер основания}) + n (\text{боковых ребер}) = 2n$.
Из этой формулы мы можем выразить количество сторон многоугольника в основании $n$:$n = K / 2$.
По условию, пирамида имеет 8 ребер ($K=8$). Найдем $n$:$n = 8 / 2 = 4$.Многоугольник, имеющий 4 стороны, называется четырехугольником.
Ответ: четырехугольник.

б)Используем выведенную ранее формулу $n = K / 2$. По условию, пирамида имеет 10 ребер ($K=10$).
Найдем количество сторон многоугольника в основании:$n = 10 / 2 = 5$.Многоугольник, имеющий 5 сторон, называется пятиугольником.
Ответ: пятиугольник.

в)Аналогично для пирамиды с 12 ребрами ($K=12$):
Найдем количество сторон многоугольника в основании:$n = 12 / 2 = 6$.Многоугольник, имеющий 6 сторон, называется шестиугольником.
Ответ: шестиугольник.

24. Сколько пар параллельных ребер имеет:

а) куб;

б) параллелепипед;

в) треугольная призма;

г) шестиугольная призма?

а) куб
Куб имеет 12 ребер. Эти ребра можно сгруппировать в три множества, в каждом из которых по 4 взаимно параллельных ребра. Каждое такое множество соответствует одному из трех направлений в пространстве (например, ребра, параллельные длине, ширине и высоте).
Количество пар, которое можно составить из $n$ элементов, вычисляется по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае мы ищем пары, поэтому $k=2$. Для группы из 4-х ребер ($n=4$) количество пар будет:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ пар.
Поскольку у куба три таких множества взаимно параллельных ребер, общее число пар равно:
$3 \times 6 = 18$.
Ответ: 18 пар.

б) параллелепипед
Параллелепипед, как и куб, имеет 12 ребер. По определению, все грани параллелепипеда — это параллелограммы. Его ребра также группируются в три множества по 4 взаимно параллельных ребра в каждом.
Расчет полностью аналогичен расчету для куба.
Количество пар в каждой из трех групп по 4 ребра: $C_4^2 = 6$.
Общее количество пар параллельных ребер:
$3 \times 6 = 18$.
Ответ: 18 пар.

в) треугольная призма
Треугольная призма имеет 9 ребер: 3 боковых ребра и по 3 ребра в каждом из двух треугольных оснований.
Найдем все множества параллельных ребер:
1. Три боковых ребра призмы параллельны друг другу. Они образуют одно множество из 3-х ребер. Количество пар, которое можно из них составить:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ пары.
2. Каждое ребро верхнего основания параллельно одному соответствующему ребру нижнего основания. Так как в основании треугольник, который в общем случае не имеет параллельных сторон, это дает 3 пары параллельных ребер (каждая пара состоит из одного ребра верхнего основания и одного ребра нижнего).
Суммарное количество пар равно сумме пар из всех групп: $3 + 3 = 6$.
Ответ: 6 пар.

г) шестиугольная призма
Так как в условии не указан тип шестиугольника в основании, будем исходить из стандартного случая — призма с правильным шестиугольником в основании. Такая призма имеет 18 ребер: 6 боковых ребер и по 6 ребер в каждом основании.
Множества параллельных ребер:
1. Шесть боковых ребер параллельны друг другу. Они образуют одно множество из 6 ребер. Количество пар в нем:
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ пар.
2. Ребра оснований. В правильном шестиугольнике есть 3 пары параллельных противоположных сторон. Каждая пара параллельных сторон в верхнем основании также параллельна соответствующей паре в нижнем основании. Таким образом, ребра оснований образуют 3 множества по 4 взаимно параллельных ребра в каждом.
Количество пар в одном таком множестве из 4-х ребер: $C_4^2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ пар.
Поскольку таких множеств три, они в сумме дают: $3 \times 6 = 18$ пар.
Общее число пар параллельных ребер для всей призмы равно сумме пар из всех групп:
$15 + 18 = 33$.
Ответ: 33 пары.

25. Докажите, что для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны прямые:
а) $AB$ и $D_1C_1$;
б) $AD_1$ и $BC_1$.

а) По определению параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, все его грани являются параллелограммами.
Рассмотрим грань (основание) $ABCD$. Так как это параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$.
Рассмотрим боковую грань $CDD_1C_1$. Так как это также параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: $DC \parallel D_1C_1$.
Таким образом, мы имеем, что прямая $AB$ параллельна прямой $DC$, а прямая $DC$ в свою очередь параллельна прямой $D_1C_1$. По свойству транзитивности параллельности прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), заключаем, что $AB \parallel D_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AB$ и $D_1C_1$ параллельны.

б) Для доказательства параллельности прямых $AD_1$ и $BC_1$, рассмотрим четырехугольник $AD_1C_1B$. Если мы докажем, что этот четырехугольник является параллелограммом, то из этого будет следовать параллельность его противоположных сторон $AD_1$ и $BC_1$.
Воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Рассмотрим противоположные стороны $AD$ и $B_1C_1$ в этом четырехугольнике... Нет, рассмотрим стороны $AB$ и $D_1C_1$.
Ой, извините, рассмотрим четырехугольник $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$.
Рассмотрим четырехугольник $AD_1C_1B$.
1. Докажем, что стороны $AD$ и $B_1C_1$ равны и параллельны. Нет, это неверно.
Давайте докажем, что стороны $AD_1$ и $BC_1$ являются противоположными сторонами в некотором параллелограмме.
Рассмотрим боковые грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. По свойству параллелепипеда, эти грани являются равными параллелограммами и лежат в параллельных плоскостях.
В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны ($AD \parallel BC$, $AD = BC$).
В параллелограмме $CDD_1C_1$ стороны $DD_1$ и $CC_1$ параллельны и равны ($DD_1 \parallel CC_1$, $DD_1 = CC_1$).
Рассмотрим четырехугольник $ADC_1B_1$. Нет, это не он.
Рассмотрим четырехугольник $AD_1C_1B$.
1. Докажем, что стороны $AB$ и $D_1C_1$ параллельны и равны. Как было показано в пункте а), $AB \parallel D_1C_1$. Также из свойств параллелограммов $ABCD$ и $CDD_1C_1$ следует, что $AB = DC$ и $DC = D_1C_1$, откуда $AB = D_1C_1$.
2. Поскольку в четырехугольнике $AD_1C_1B$ две противоположные стороны ($AB$ и $D_1C_1$) равны и параллельны, то $AD_1C_1B$ является параллелограммом.
3. В параллелограмме $AD_1C_1B$ противоположные стороны $AD_1$ и $BC_1$ также параллельны. То есть, $AD_1 \parallel BC_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AD_1$ и $BC_1$ параллельны.

26. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны прямые:

а) $AB$ и $E_1D_1$;

б) $AA_1$ и $DD_1$;

в) $AC_1$ и $FD_1$.

а)Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основаниями служат правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ противолежащие стороны параллельны. В частности, сторона $AB$ параллельна стороне $ED$, то есть $AB \parallel ED$.Четырехугольник $EDD_1E_1$ является боковой гранью призмы. Так как призма правильная, она является прямой, и ее боковые грани — прямоугольники. Следовательно, ребро $ED$ параллельно ребру $E_1D_1$, то есть $ED \parallel E_1D_1$.Таким образом, мы имеем два факта: $AB \parallel ED$ и $ED \parallel E_1D_1$. По свойству транзитивности параллельности прямых (если две различные прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), заключаем, что $AB \parallel E_1D_1$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б)По определению призмы, все ее боковые ребра параллельны друг другу. Прямые $AA_1$ и $DD_1$ являются боковыми ребрами данной шестиугольной призмы. Следовательно, они параллельны: $AA_1 \parallel DD_1$.Альтернативно, можно рассмотреть четырехугольник $ADD_1A_1$. Так как основания призмы параллельны и равны, то их соответствующие диагонали $AD$ и $A_1D_1$ также параллельны и равны. Боковые ребра $AA_1$ и $DD_1$ параллельны и равны по определению призмы. Четырехугольник $ADD_1A_1$, у которого две противолежащие стороны ($AA_1$ и $DD_1$) параллельны и равны, является параллелограммом. Отсюда следует, что его стороны $AA_1$ и $DD_1$ параллельны. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

в)Для доказательства параллельности прямых $AC_1$ и $FD_1$ воспользуемся векторным методом. Докажем, что векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{FD_1}$ равны.Выразим эти векторы через рёбра призмы, используя правило сложения векторов (правило треугольника).Для вектора $\vec{AC_1}$ имеем: $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$.Для вектора $\vec{FD_1}$ имеем: $\vec{FD_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1}$.Так как призма является правильной, все её боковые рёбра параллельны и равны по длине. Следовательно, векторы, соответствующие этим рёбрам, равны: $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.Теперь сравним векторы $\vec{AC}$ и $\vec{FD}$, которые лежат в плоскости основания $ABCDEF$. Пусть $O$ — центр этого правильного шестиугольника.Вектор $\vec{AC}$ можно представить как разность векторов, проведенных из центра: $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$.Аналогично для вектора $\vec{FD}$: $\vec{FD} = \vec{OD} - \vec{OF}$.В правильном шестиугольнике векторы, проведенные из центра к противолежащим вершинам, противоположны. То есть, $\vec{OD} = -\vec{OA}$ и $\vec{OF} = -\vec{OC}$.Подставим эти соотношения в выражение для вектора $\vec{FD}$:$\vec{FD} = (-\vec{OA}) - (-\vec{OC}) = \vec{OC} - \vec{OA}$.Таким образом, мы показали, что $\vec{FD} = \vec{AC}$.Теперь вернемся к исходным векторам $\vec{AC_1}$ и $\vec{FD_1}$:$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$$\vec{FD_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1}$Поскольку мы доказали, что $\vec{AC} = \vec{FD}$ и $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$, то из этого следует, что $\vec{AC_1} = \vec{FD_1}$.Равенство векторов означает, что они сонаправлены и их длины равны. Это, в свою очередь, означает, что прямые $AC_1$ и $FD_1$, на которых лежат эти векторы, параллельны. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

27. Сколько пар скрещивающихся ребер имеет:

а) куб;

б) параллелепипед;

в) треугольная пирамида;

г) шестиугольная пирамида?

Скрещивающимися называются рёбра, которые лежат на скрещивающихся прямых, то есть не пересекаются и не параллельны. Чтобы найти количество пар скрещивающихся рёбер, мы можем из общего числа пар рёбер вычесть число пар рёбер, которые не являются скрещивающимися. Рёбра не являются скрещивающимися, если они:
1. Пересекаются (имеют общую вершину).
2. Параллельны.
3. Лежат в одной плоскости (на одной грани), но не пересекаются и не параллельны. Такие рёбра также не могут быть скрещивающимися, так как скрещивающиеся прямые не могут лежать в одной плоскости.

Общее число пар рёбер в многограннике с $E$ рёбрами вычисляется по формуле числа сочетаний: $C_E^2 = \frac{E(E-1)}{2}$.

а) куб

1. Общее число рёбер. Куб имеет 12 рёбер ($E=12$).
2. Общее число пар рёбер. $C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$ пар.
3. Число пересекающихся пар рёбер. У куба 8 вершин, и в каждой вершине сходятся 3 ребра. Число пар рёбер, пересекающихся в одной вершине, равно $C_3^2 = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$. Всего пересекающихся пар: $8 \text{ вершин} \times 3 \text{ пары} = 24$ пары.
4. Число параллельных пар рёбер. Рёбра куба можно разбить на 3 группы по 4 взаимно параллельных ребра в каждой. В каждой такой группе число пар параллельных рёбер равно $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$. Всего параллельных пар: $3 \text{ группы} \times 6 \text{ пар} = 18$ пар.
5. Число пар копланарных непересекающихся и непараллельных рёбер. Грани куба — квадраты. В квадрате 4 ребра. Число пар рёбер на одной грани $C_4^2 = 6$. Из них 4 пары пересекаются (смежные рёбра) и 2 пары параллельны (противоположные рёбра). Таким образом, на одной грани нет рёбер, которые были бы одновременно копланарны, не пересекались и не были параллельны. Их число равно 0.
6. Число скрещивающихся пар рёбер. Вычитаем из общего числа пар все нескрещивающиеся пары:
$N_{скр} = 66 - 24 (\text{пересек.}) - 18 (\text{парал.}) - 0 = 24$.
Ответ: 24

б) параллелепипед

Параллелепипед имеет ту же комбинаторную структуру, что и куб: 12 рёбер, 8 вершин, 6 граней. Его грани — параллелограммы. Расчеты полностью аналогичны расчетам для куба.
1. Общее число рёбер: $E=12$.
2. Общее число пар рёбер: $C_{12}^2 = 66$ пар.
3. Число пересекающихся пар рёбер: В каждой из 8 вершин сходятся 3 ребра. $8 \times C_3^2 = 8 \times 3 = 24$ пары.
4. Число параллельных пар рёбер: Рёбра также делятся на 3 группы по 4 параллельных ребра. $3 \times C_4^2 = 3 \times 6 = 18$ пар.
5. Число пар копланарных непересекающихся и непараллельных рёбер. Грани — параллелограммы. Как и в квадрате, на одной грани нет пар рёбер, которые не пересекаются и не параллельны. Их число равно 0.
6. Число скрещивающихся пар рёбер:
$N_{скр} = 66 - 24 - 18 - 0 = 24$.
Ответ: 24

в) треугольная пирамида

Треугольная пирамида (тетраэдр) имеет 4 вершины и 6 рёбер.
1. Общее число рёбер: $E=6$.
2. Общее число пар рёбер: $C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ пар.
3. Число пересекающихся пар рёбер: У пирамиды 4 вершины, в каждой сходятся 3 ребра. $4 \times C_3^2 = 4 \times 3 = 12$ пар.
4. Число параллельных пар рёбер: В общем случае в треугольной пирамиде нет параллельных рёбер. Их число равно 0.
5. Число пар копланарных непересекающихся и непараллельных рёбер. Грани — треугольники. В треугольнике любые два ребра имеют общую вершину, то есть пересекаются. Таким образом, на одной грани нет непересекающихся пар рёбер. Их число равно 0.
6. Число скрещивающихся пар рёбер:
$N_{скр} = 15 - 12 - 0 - 0 = 3$.
Эти три пары — это пары противоположных рёбер тетраэдра.
Ответ: 3

г) шестиугольная пирамида

Шестиугольная пирамида имеет 7 вершин (6 в основании и 1 вершина), 12 рёбер (6 в основании и 6 боковых).
1. Общее число рёбер: $E=12$.
2. Общее число пар рёбер: $C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$ пар.
3. Число пересекающихся пар рёбер: - В вершине пирамиды сходятся 6 боковых рёбер. Число пар: $C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$. - В каждой из 6 вершин основания сходятся 3 ребра (два ребра основания и одно боковое). Число пар в одной вершине основания: $C_3^2 = 3$. Всего для вершин основания: $6 \times 3 = 18$. - Общее число пересекающихся пар: $15 + 18 = 33$ пары.
4. Число некопланарных непересекающихся пар (скрещивающихся). Проще посчитать скрещивающиеся пары напрямую по их типам: - Пара (ребро основания, ребро основания): Все рёбра основания лежат в одной плоскости, поэтому никакие два из них не могут быть скрещивающимися. Количество таких пар равно 0. - Пара (боковое ребро, боковое ребро): Все боковые рёбра пересекаются в вершине пирамиды, поэтому никакие два из них не могут быть скрещивающимися. Количество таких пар равно 0. - Пара (ребро основания, боковое ребро): Возьмём одно ребро основания, например, $V_1V_2$. Оно пересекается с двумя боковыми рёбрами: $AV_1$ и $AV_2$. Остальные 4 боковых ребра ($AV_3, AV_4, AV_5, AV_6$) не пересекают ребро $V_1V_2$ и не параллельны ему, а значит, скрещиваются с ним. Так как в основании 6 рёбер, то общее число таких пар равно $6 \text{ рёбер основания} \times 4 \text{ боковых ребра} = 24$ пары.
Суммируя все типы, получаем общее число скрещивающихся пар.$N_{скр} = 0 + 0 + 24 = 24$.
Ответ: 24

28. Как расположены прямые:

а) $AB_1$ и $BC_1$;

б) $AA_1$ и $BD_1$;

в) $AC_1$ и $BD_1$, проходящие через вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$?

а) AB₁ и BC₁ Прямая $AB_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$, а прямая $BC_1$ – диагональю грани $BCC_1B_1$. У этих прямых нет общих точек, так как вершины $A, B_1, B, C_1$ попарно различны. Следовательно, прямые не пересекаются. Чтобы определить, являются ли они параллельными или скрещивающимися, проверим, лежат ли они в одной плоскости. Прямая $AB_1$ целиком лежит в плоскости грани $(ABB_1)$. Прямая $BC_1$ пересекает эту плоскость в точке $B$, которая не принадлежит прямой $AB_1$. Следовательно, прямые $AB_1$ и $BC_1$ не лежат в одной плоскости. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
Ответ: скрещивающиеся.

б) AA₁ и BD₁ Прямая $AA_1$ является боковым ребром куба, а прямая $BD_1$ – пространственной диагональю куба. Эти прямые не имеют общих точек и, следовательно, не пересекаются. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $(BDD_1)$, в которой лежит прямая $BD_1$. Прямая $AA_1$ параллельна прямой $DD_1$, которая также лежит в плоскости $(BDD_1)$. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BDD_1)$. Так как прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BDD_1)$, а прямая $BD_1$ лежит в этой плоскости, и при этом они не пересекаются, то прямые $AA_1$ и $BD_1$ являются скрещивающимися.
Ответ: скрещивающиеся.

в) AC₁ и BD₁ Прямые $AC_1$ и $BD_1$ являются пространственными диагоналями куба. Все пространственные диагонали куба пересекаются в одной точке – его центре. Чтобы это доказать, введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ и осями, направленными вдоль ребер $AB, AD$ и $AA_1$. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда координаты вершин: $A(0,0,0)$, $C_1(a,a,a)$, $B(a,0,0)$, $D_1(0,a,a)$. Середина отрезка $AC_1$ имеет координаты $M_1 = (\frac{0+a}{2}; \frac{0+a}{2}; \frac{0+a}{2}) = (\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; \frac{a}{2})$. Середина отрезка $BD_1$ имеет координаты $M_2 = (\frac{a+0}{2}; \frac{0+a}{2}; \frac{0+a}{2}) = (\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; \frac{a}{2})$. Так как середины отрезков совпадают, эта точка является точкой их пересечения. Следовательно, прямые $AC_1$ и $BD_1$ пересекаются.
Ответ: пересекающиеся.

29. Как расположены прямые:
а) $AB_1$ и $CD_1$;
б) $AA_1$ и $BD_1$;
в) $AC_1$ и $BF_1$, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$?

Для определения взаимного расположения прямых в пространстве воспользуемся координатно-векторным методом. Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания правильной шестиугольной призмы $ABCDEF$ совпадает с началом координат $O(0,0,0)$, а вершина $A$ лежит на оси $Ox$. Пусть сторона основания равна $a$, а высота призмы равна $h$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A(a, 0, 0)$

$B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D(-a, 0, 0)$

$E(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания получаются добавлением высоты $h$ по оси $z$:

$A_1(a, 0, h)$, $B_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$, $C_1(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$, $D_1(-a, 0, h)$, $E_1(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$, $F_1(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.

а) $AB_1$ и $CD_1$

Найдем направляющие векторы прямых.Направляющий вектор прямой $AB_1$: $\vec{v}_1 = \vec{B_1} - \vec{A} = (\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.Направляющий вектор прямой $CD_1$: $\vec{v}_2 = \vec{D_1} - \vec{C} = (-a - (-\frac{a}{2}), 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.

Сравним координаты векторов, чтобы проверить их на коллинеарность (параллельность прямых). Отношение первых координат: $(-\frac{a}{2}) / (-\frac{a}{2}) = 1$. Отношение вторых координат: $(\frac{a\sqrt{3}}{2}) / (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) = -1$. Так как $1 \neq -1$, векторы не коллинеарны, и прямые не параллельны.

Чтобы проверить, пересекаются ли прямые, нужно выяснить, лежат ли они в одной плоскости. Для этого проверим на компланарность векторы $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и вектор, соединяющий точки на этих прямых, например, $\vec{AC}$.$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.Вычислим смешанное произведение векторов $(\vec{AC}, \vec{v}_1, \vec{v}_2)$:

$(\vec{AC}, \vec{v}_1, \vec{v}_2) = \begin{vmatrix} -3a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \\ -a/2 & a\sqrt{3}/2 & h \\ -a/2 & -a\sqrt{3}/2 & h \end{vmatrix} = -\frac{3a}{2}(\frac{a\sqrt{3}}{2}h - (-\frac{a\sqrt{3}}{2})h) - \frac{a\sqrt{3}}{2}(-\frac{a}{2}h - (-\frac{a}{2})h) = -\frac{3a}{2}(a\sqrt{3}h) - 0 = -\frac{3\sqrt{3}a^2h}{2}$.

Так как смешанное произведение не равно нулю, векторы не компланарны, следовательно, прямые $AB_1$ и $CD_1$ не лежат в одной плоскости. Прямые, которые не параллельны и не пересекаются, называются скрещивающимися.

Ответ: скрещивающиеся.

б) $AA_1$ и $BD_1$

Прямая $AA_1$ является боковым ребром призмы, она перпендикулярна плоскости основания.Прямая $BD_1$ — диагональ призмы.Направляющий вектор прямой $AA_1$: $\vec{u}_1 = \vec{A_1} - \vec{A} = (0, 0, h)$.Направляющий вектор прямой $BD_1$: $\vec{u}_2 = \vec{D_1} - \vec{B} = (-a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (-\frac{3a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.Векторы не коллинеарны, так как у $\vec{u}_1$ первые две компоненты нулевые, а у $\vec{u}_2$ — нет. Значит, прямые не параллельны.

Для проверки на пересечение воспользуемся методом проекций. Спроектируем обе прямые на плоскость нижнего основания $(ABC)$.Проекцией прямой $AA_1$ на эту плоскость является точка $A$.Проекцией прямой $BD_1$ на эту плоскость является отрезок $BD$.В правильном шестиугольнике вершина $A$ не лежит на диагонали $BD$. Таким образом, проекция прямой $AA_1$ не лежит на проекции прямой $BD_1$.Поскольку прямые не пересекаются в проекции, они не могут пересекаться и в пространстве (так как ни одна из них не является перпендикулярной к направлению проекции, чтобы спроецироваться в одну точку с другой).Так как прямые $AA_1$ и $BD_1$ не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

Ответ: скрещивающиеся.

в) $AC_1$ и $BF_1$

Найдем направляющие векторы прямых.Направляющий вектор прямой $AC_1$: $\vec{w}_1 = \vec{C_1} - \vec{A} = (-\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.Направляющий вектор прямой $BF_1$: $\vec{w}_2 = \vec{F_1} - \vec{B} = (\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (0, -a\sqrt{3}, h)$.Векторы не коллинеарны (у $\vec{w}_2$ первая компонента нулевая, у $\vec{w}_1$ — нет), значит, прямые не параллельны.

Проверим, лежат ли прямые в одной плоскости. Для этого вычислим смешанное произведение векторов $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ и вектора $\vec{AB}$, соединяющего точки на этих прямых.$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.Смешанное произведение $(\vec{AB}, \vec{w}_1, \vec{w}_2)$:

$(\vec{AB}, \vec{w}_1, \vec{w}_2) = \begin{vmatrix} -a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \\ -3a/2 & a\sqrt{3}/2 & h \\ 0 & -a\sqrt{3} & h \end{vmatrix} = -\frac{a}{2}(\frac{a\sqrt{3}}{2}h - (-a\sqrt{3})h) - \frac{a\sqrt{3}}{2}(-\frac{3a}{2}h - 0) + 0 = -\frac{a}{2}(\frac{3a\sqrt{3}h}{2}) + \frac{3a^2\sqrt{3}h}{4} = -\frac{3a^2\sqrt{3}h}{4} + \frac{3a^2\sqrt{3}h}{4} = 0$.

Так как смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны. Это означает, что прямые $AC_1$ и $BF_1$ лежат в одной плоскости. Поскольку они не параллельны, они должны пересекаться.

Ответ: пересекающиеся.

30. Докажите, что для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямые:

а) $AA_1$ и $BD$;

б) $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются.

а) Для доказательства того, что прямые $AA_1$ и $BD$ скрещиваются, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых. Признак гласит: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
1. Прямая $BD$ является диагональю основания $ABCD$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Следовательно, прямая $BD$ целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$.
2. Прямая $AA_1$ является боковым ребром параллелепипеда. Она пересекает плоскость основания $(ABC)$ в точке $A$. Точка $A_1$ не лежит в плоскости $(ABC)$, поэтому точка $A$ — единственная точка пересечения прямой $AA_1$ с плоскостью $(ABC)$.
3. Точка пересечения $A$ не принадлежит прямой $BD$. В основании параллелепипеда лежит параллелограмм $ABCD$, и вершина $A$ не лежит на диагонали $BD$.
4. Таким образом, прямая $BD$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $AA_1$ пересекает эту плоскость в точке $A$, не принадлежащей прямой $BD$. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые $AA_1$ и $BD$ скрещиваются.

Ответ: Доказано, что прямые $AA_1$ и $BD$ скрещиваются.

б) Для доказательства того, что прямые $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются, также воспользуемся признаком скрещивающихся прямых.
1. Прямая $BB_1$ является боковым ребром параллелепипеда и целиком лежит в плоскости боковой грани $BB_1C_1C$. Обозначим эту плоскость $\pi$.
2. Прямая $AC_1$ является диагональю параллелепипеда. Найдем точку ее пересечения с плоскостью $\pi$. Точка $C_1$ принадлежит как прямой $AC_1$, так и плоскости $\pi$. Точка $A$ не принадлежит плоскости $\pi$ (поскольку в невырожденном параллелепипеде вершина $A$ не лежит в плоскости грани $BB_1C_1C$). Следовательно, прямая $AC_1$ пересекает плоскость $\pi$ в единственной точке — $C_1$.
3. Проверим, принадлежит ли точка пересечения $C_1$ прямой $BB_1$. Прямая $BB_1$ проходит через вершины $B$ и $B_1$. Точки $B, B_1, C_1$ являются вершинами одной грани и не лежат на одной прямой (не коллинеарны). Следовательно, точка $C_1$ не принадлежит прямой $BB_1$ ($C_1 \notin BB_1$).
4. Итак, прямая $BB_1$ лежит в плоскости $\pi$, а прямая $AC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C_1$, которая не лежит на прямой $BB_1$. По признаку скрещивающихся прямых, прямые $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются.

Ответ: Доказано, что прямые $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются.

31. Докажите, что для пирамиды $SABCDEF$ прямые $SA$ и: а) $BC$; б) $CD$ скрещиваются.

а) Для доказательства того, что прямые $SA$ и $BC$ скрещиваются, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых. Согласно этому признаку, две прямые скрещиваются, если одна из них лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой.
1. Рассмотрим плоскость основания пирамиды $(ABCDEF)$. Прямая $BC$ полностью лежит в этой плоскости, так как точки $B$ и $C$ являются вершинами основания.
2. Рассмотрим прямую $SA$. Она является боковым ребром пирамиды. Вершина пирамиды $S$ по определению не лежит в плоскости основания, в то время как точка $A$ принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $SA$ пересекает плоскость основания $(ABCDEF)$ в единственной точке — точке $A$.
3. Теперь необходимо проверить, принадлежит ли точка пересечения $A$ прямой $BC$. Точки $A$, $B$, $C$ — это различные вершины многоугольника $ABCDEF$, лежащего в основании. Для любого невырожденного многоугольника три его вершины не могут лежать на одной прямой. Таким образом, точка $A$ не принадлежит прямой $BC$.
4. Итак, мы установили, что прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABCDEF)$, а прямая $SA$ пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не лежит на прямой $BC$. По признаку скрещивающихся прямых, прямые $SA$ и $BC$ скрещиваются.
Ответ: Доказано, что прямые $SA$ и $BC$ скрещиваются.

б) Доказательство того, что прямые $SA$ и $CD$ скрещиваются, проводится аналогично предыдущему пункту.
1. Прямая $CD$ лежит в плоскости основания пирамиды $(ABCDEF)$, так как точки $C$ и $D$ являются вершинами этого основания.
2. Как было установлено ранее, прямая $SA$ пересекает плоскость основания $(ABCDEF)$ в точке $A$.
3. Проверим, принадлежит ли точка $A$ прямой $CD$. Точки $A$, $C$ и $D$ — это различные вершины основания. Так как основание является невырожденным многоугольником, вершина $A$ не может лежать на прямой, проходящей через две другие вершины $C$ и $D$.
4. Таким образом, прямая $CD$ лежит в плоскости основания, а прямая $SA$ пересекает эту плоскость в точке $A$, не принадлежащей прямой $CD$. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые $SA$ и $CD$ скрещиваются.
Ответ: Доказано, что прямые $SA$ и $CD$ скрещиваются.

32. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ прямые:
a) $AA_1$ и $BC$;
б) $AC_1$ и $BD$;
в) $AB$ и $B_1 C_1$ скрещиваются.

а) Для доказательства того, что прямые $AA_1$ и $BC$ скрещиваются, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых. Этот признак гласит: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
Рассмотрим прямые $AA_1$ и $BC$ в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
1. Прямая $BC$ является стороной основания и, следовательно, целиком лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$.
2. Прямая $AA_1$ является боковым ребром призмы. Так как призма правильная, она является прямой призмой, и её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, прямая $AA_1$ пересекает плоскость основания $(ABC)$ в одной-единственной точке — точке $A$.
3. Точка пересечения $A$ не лежит на прямой $BC$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ точки $A$, $B$ и $C$ являются тремя последовательными вершинами, поэтому они не могут лежать на одной прямой.
Таким образом, все условия признака скрещивающихся прямых выполнены: прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $AA_1$ пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не лежит на прямой $BC$. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BC$ скрещиваются.
Ответ: Прямые $AA_1$ и $BC$ скрещиваются, что и требовалось доказать.

б) Для доказательства того, что прямые $AC_1$ и $BD$ скрещиваются, также воспользуемся признаком скрещивающихся прямых.
1. Прямая $BD$ является диагональю основания и целиком лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$.
2. Прямая $AC_1$ — это диагональ призмы. Она соединяет вершину $A$ нижнего основания с вершиной $C_1$ верхнего основания. Эта прямая не лежит в плоскости $(ABC)$ (так как точка $C_1$ не лежит в этой плоскости) и не параллельна ей (так как её проекция на эту плоскость — отрезок $AC$ — не является точкой). Следовательно, прямая $AC_1$ пересекает плоскость $(ABC)$ в одной точке. Этой точкой является точка $A$.
3. Точка пересечения $A$ не лежит на прямой $BD$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ вершины $A$, $B$, $D$ не лежат на одной прямой.
Так как прямая $BD$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $AC_1$ пересекает эту плоскость в точке $A$, не принадлежащей прямой $BD$, то по признаку скрещивающихся прямых прямые $AC_1$ и $BD$ скрещиваются.
Ответ: Прямые $AC_1$ и $BD$ скрещиваются, что и требовалось доказать.

в) Докажем, что прямые $AB$ и $B_1C_1$ скрещиваются. Две прямые называются скрещивающимися, если они не параллельны и не пересекаются. Это эквивалентно тому, что они не лежат в одной плоскости.
1. Проверим, параллельны ли прямые. Прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. В правильной призме верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получается из нижнего $ABCDEF$ параллельным переносом. В частности, отрезок $B_1C_1$ параллелен отрезку $BC$. Таким образом, прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $BC$. Прямые $AB$ и $BC$ являются смежными сторонами правильного шестиугольника и пересекаются под углом $120^\circ$, то есть не параллельны. Так как $B_1C_1 \parallel BC$, а $AB$ не параллельна $BC$, то прямые $AB$ и $B_1C_1$ не параллельны.
2. Проверим, пересекаются ли прямые. Прямая $AB$ целиком находится в плоскости $(ABC)$. Прямая $B_1C_1$ целиком находится в плоскости $(A_1B_1C_1)$. Так как призма имеет ненулевую высоту, плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны и не совпадают. Две прямые, лежащие в двух разных параллельных плоскостях, не могут пересекаться.
Поскольку прямые $AB$ и $B_1C_1$ не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.
Альтернативное доказательство (от противного): Предположим, что прямые $AB$ и $B_1C_1$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Тогда все четыре точки $A$, $B$, $B_1$ и $C_1$ должны лежать в этой плоскости $\alpha$. Точки $A$, $B$ и $B_1$ определяют плоскость боковой грани $ABB_1A_1$. Следовательно, плоскость $\alpha$ должна совпадать с плоскостью $(ABB_1)$. Тогда и точка $C_1$ должна лежать в плоскости $(ABB_1)$. Однако боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ являются разными плоскостями, которые пересекаются по ребру $BB_1$. Точка $C_1$ принадлежит плоскости $(BCC_1)$, но не лежит на прямой $BB_1$, поэтому $C_1$ не может принадлежать плоскости $(ABB_1)$. Мы пришли к противоречию. Значит, исходное предположение неверно, и прямые $AB$ и $B_1C_1$ не лежат в одной плоскости, то есть скрещиваются.
Ответ: Прямые $AB$ и $B_1C_1$ скрещиваются, что и требовалось доказать.

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, укажите грани, параллельные прямой:

а) $AD$;

б) $AB_1$.

а) Прямая параллельна плоскости (грани), если она не лежит в этой плоскости и параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. В данной задаче мы ищем грани правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, параллельные заданной прямой.

Рассмотрим прямую $AD$. Эта прямая является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$, лежащего в основании призмы.

1. В правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$. Прямая $BC$ принадлежит боковой грани $BCC_1B_1$. Поскольку прямая $AD$ не лежит в плоскости этой грани, то прямая $AD$ параллельна грани $BCC_1B_1$.

2. Аналогично, большая диагональ $AD$ параллельна стороне $EF$. Прямая $EF$ принадлежит боковой грани $EFF_1E_1$. Следовательно, прямая $AD$ параллельна грани $EFF_1E_1$.

3. В правильной призме основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны. Прямая $AD$ в нижнем основании параллельна соответствующей ей прямой $A_1D_1$ в верхнем основании. Прямая $A_1D_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Так как $AD$ не принадлежит этой плоскости, то $AD$ параллельна грани $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Ответ: $BCC_1B_1$, $EFF_1E_1$, $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

б) Рассмотрим прямую $AB_1$. Эта прямая является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$.

1. Рассмотрим боковую грань $EDD_1E_1$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Сторона $AB$ противоположна стороне $DE$, но векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DE}$ противоположно направлены. А вот векторы $\vec{AB}$ и $\vec{ED}$ сонаправлены и равны ($\vec{AB} = \vec{ED}$). В правильной призме все боковые ребра параллельны и равны, значит $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{DD_1} = \vec{EE_1}$. Рассмотрим диагонали $AB_1$ и $ED_1$. По правилу сложения векторов: $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$ и $\vec{ED_1} = \vec{ED} + \vec{DD_1}$. Так как $\vec{AB} = \vec{ED}$ и $\vec{BB_1} = \vec{DD_1}$, то $\vec{AB_1} = \vec{ED_1}$. Это означает, что прямые $AB_1$ и $ED_1$ параллельны. Прямая $ED_1$ является диагональю грани $EDD_1E_1$ и лежит в ее плоскости. Поскольку прямая $AB_1$ не лежит в плоскости этой грани, она ей параллельна.

2. Рассмотрим боковую грань $FCC_1F_1$. Эта грань является прямоугольником, построенным на диагонали $FC$ основания. Докажем, что прямая $AB_1$ параллельна плоскости этой грани, показав, что у них нет общих точек. Если ввести систему координат с центром в центре нижнего основания, то можно показать, что при подстановке параметрического уравнения прямой $AB_1$ в уравнение плоскости, содержащей грань $FCC_1F_1$, получается неверное равенство. Это означает, что прямая и плоскость не пересекаются, а значит, они параллельны.

Ответ: $EDD_1E_1$, $FCC_1F_1$.

34. Докажите, что для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ ребро $AB$ параллельно грани $SDE$.

По определению, правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ имеет в основании правильный шестиугольник $ABCDEF$.

В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. В шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $AB$ является противолежащей стороне $DE$. Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $DE$. Запишем это как $AB \parallel DE$.

Рассмотрим грань $SDE$. Эта грань является треугольником и проходит через точки $S, D, E$. Прямая $DE$ является одной из сторон этого треугольника, а значит, целиком лежит в плоскости грани $SDE$.

Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

В нашем случае:

1. Прямая $AB$ не лежит в плоскости грани $SDE$.

2. Прямая $AB$ параллельна прямой $DE$ ($AB \parallel DE$).

3. Прямая $DE$ лежит в плоскости грани $SDE$.

Из этих трех условий, согласно признаку параллельности прямой и плоскости, следует, что ребро $AB$ параллельно грани $SDE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

35. Сколько пар параллельных граней имеет:

а) куб;

б) параллелепипед;

в) треугольная призма;

г) шестиугольная призма?

а) куб

Куб — это многогранник, у которого 6 граней, и каждая из них является квадратом. Противоположные грани куба всегда параллельны друг другу. Мы можем выделить следующие пары:
1. Верхняя и нижняя грани образуют одну пару параллельных плоскостей.
2. Передняя и задняя грани образуют вторую пару.
3. Левая и правая боковые грани образуют третью пару.
Таким образом, общее количество пар параллельных граней у куба равно 3.

Ответ: 3.

б) параллелепипед

Параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом. По определению, у параллелепипеда противоположные грани параллельны и равны. Аналогично кубу, у него есть:
1. Параллельные верхнее и нижнее основания (1 пара).
2. Две пары параллельных противолежащих боковых граней (2 пары).
Всего у параллелепипеда $1 + 2 = 3$ пары параллельных граней.

Ответ: 3.

в) треугольная призма

Треугольная призма имеет два основания в виде треугольников, которые лежат в параллельных плоскостях, и три боковые грани в виде параллелограммов.
1. Два треугольных основания параллельны друг другу, что составляет одну пару параллельных граней.
2. Боковые грани не могут быть параллельны друг другу, так как у треугольника нет параллельных сторон, и, следовательно, боковые грани призмы будут пересекаться по рёбрам.
Следовательно, у треугольной призмы всего одна пара параллельных граней.

Ответ: 1.

г) шестиугольная призма

Шестиугольная призма имеет два шестиугольных основания в параллельных плоскостях и шесть боковых граней.
1. Два шестиугольных основания параллельны друг другу (1 пара).
2. Боковые грани. Если в основании лежит правильный шестиугольник (что обычно и подразумевается), то у него есть три пары параллельных сторон. Боковые грани, построенные на этих параллельных сторонах, также будут параллельны друг другу. Это дает нам 3 пары параллельных боковых граней.
Суммируя пары, получаем: $1$ (основания) + $3$ (боковые грани) = $4$ пары параллельных граней.

Ответ: 4.

36. Докажите, что у правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны плоскости:

a) $ABB_1$ и $EDD_1$;

б) $ACC_1$ и $FDD_1$.

Для доказательства параллельности двух плоскостей воспользуемся признаком параллельности: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
По условию, призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной. Это означает, что её основаниями являются правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, а все боковые рёбра ($AA_1, BB_1, CC_1$ и т.д.) параллельны друг другу.
Рассмотрим плоскость $ABB_1$. Она определяется двумя пересекающимися в точке B прямыми: $AB$ и $BB_1$.
Рассмотрим плоскость $EDD_1$. Она определяется двумя пересекающимися в точке D прямыми: $ED$ и $DD_1$.
Сравним эти пары прямых:
1. Прямые $AB$ и $ED$ лежат в плоскости основания. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $AB \parallel ED$.
2. Прямые $BB_1$ и $DD_1$ являются боковыми рёбрами призмы. Все боковые рёбра призмы параллельны друг другу. Следовательно, $BB_1 \parallel DD_1$.
Таким образом, две пересекающиеся прямые ($AB$ и $BB_1$) в плоскости $ABB_1$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($ED$ и $DD_1$) в плоскости $EDD_1$. Согласно признаку параллельности плоскостей, плоскость $ABB_1$ параллельна плоскости $EDD_1$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

Будем использовать тот же признак параллельности плоскостей.
Рассмотрим плоскость $ACC_1$. Она определяется двумя пересекающимися в точке C прямыми: $AC$ и $CC_1$.
Рассмотрим плоскость $FDD_1$. Она определяется двумя пересекающимися в точке D прямыми: $FD$ и $DD_1$.
Сравним эти пары прямых:
1. Прямые $AC$ и $FD$ являются диагоналями основания $ABCDEF$. Рассмотрим четырёхугольник $ACDF$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны и равны. Стороны $FA$ и $CD$ являются противолежащими, следовательно, $FA \parallel CD$ и $FA = CD$. Если у четырёхугольника две противолежащие стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом. Значит, $ACDF$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны также параллельны, поэтому $AC \parallel FD$.
2. Прямые $CC_1$ и $DD_1$ являются боковыми рёбрами призмы, поэтому они параллельны: $CC_1 \parallel DD_1$.
Таким образом, две пересекающиеся прямые ($AC$ и $CC_1$) в плоскости $ACC_1$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($FD$ и $DD_1$) в плоскости $FDD_1$. Согласно признаку параллельности плоскостей, плоскость $ACC_1$ параллельна плоскости $FDD_1$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

37. Сколько пар перпендикулярных ребер имеет:

а) правильный тетраэдр;

б) куб?

а) Правильный тетраэдр — это многогранник, у которого все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Он имеет 6 ребер одинаковой длины и 4 вершины. Пары ребер могут быть либо пересекающимися (имеющими общую вершину), либо скрещивающимися (не пересекающимися и не параллельными).
1. Пересекающиеся ребра. Любые два ребра, выходящие из одной вершины, являются сторонами одной из граней — равностороннего треугольника. Угол между сторонами равностороннего треугольника составляет $60^\circ$. Так как угол не равен $90^\circ$, то никакие два пересекающихся ребра в правильном тетраэдре не являются перпендикулярными.
2. Скрещивающиеся ребра. В тетраэдре существует 3 пары скрещивающихся (противоположных) ребер. Пусть вершины тетраэдра обозначены как $A, B, C, D$. Тогда скрещивающимися парами ребер будут $(AD, BC)$, $(AC, BD)$ и $(AB, CD)$. Докажем, что эти ребра перпендикулярны.
Рассмотрим пару ребер $AD$ и $BC$. Пусть точка $M$ — середина ребра $BC$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $AM$ является также и высотой, следовательно, $AM \perp BC$. Аналогично, в равностороннем треугольнике $DBC$ медиана $DM$ также является высотой, откуда следует, что $DM \perp BC$.
Поскольку ребро $BC$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($AM$ и $DM$), лежащим в плоскости $(ADM)$, то ребро $BC$ перпендикулярно всей плоскости $(ADM)$. Ребро $AD$ лежит в плоскости $(ADM)$, следовательно, ребро $BC$ перпендикулярно ребру $AD$.
Аналогичное доказательство можно провести для двух других пар скрещивающихся ребер. Таким образом, все три пары скрещивающихся ребер в правильном тетраэдре перпендикулярны.
Итого, в правильном тетраэдре 0 пар перпендикулярных пересекающихся ребер и 3 пары перпендикулярных скрещивающихся ребер.
Ответ: 3.

б) Куб — это многогранник, у которого все 6 граней являются квадратами. Он имеет 12 ребер. Ребра куба можно разделить на 3 группы по 4 параллельных ребра в каждой, причем ребра из разных групп взаимно перпендикулярны.
Как и в предыдущем случае, рассмотрим пересекающиеся и скрещивающиеся ребра.
1. Пересекающиеся ребра. В каждой из 8 вершин куба сходятся 3 ребра. Эти три ребра попарно перпендикулярны, так как они являются сторонами квадратных граней, сходящихся в этой вершине (угол квадрата равен $90^\circ$). Количество пар ребер в одной вершине равно $C_3^2 = \frac{3 \times 2}{2} = 3$. Поскольку у куба 8 вершин, общее число пар перпендикулярных пересекающихся ребер составляет $8 \times 3 = 24$.
2. Скрещивающиеся ребра. Рассмотрим произвольное ребро куба, например, $e_1$. Оно принадлежит одной из трех групп взаимно перпендикулярных направлений. Остальные 8 ребер принадлежат двум другим направлениям и, следовательно, перпендикулярны ребру $e_1$. Из этих 8 ребер 4 пересекаются с ребром $e_1$ (по два на каждом конце) — эти пары мы уже учли. Оставшиеся 4 ребра являются скрещивающимися с $e_1$ и перпендикулярными ему.
Таким образом, для каждого из 12 ребер существует 4 скрещивающихся ребра, которые ему перпендикулярны. Чтобы найти общее число таких пар, мы умножаем количество ребер на число перпендикулярных скрещивающихся ребер для каждого и делим на 2, чтобы не посчитать каждую пару дважды (пары $(e_1, e_2)$ и $(e_2, e_1)$ — это одна и та же пара):
Число пар перпендикулярных скрещивающихся ребер = $\frac{12 \times 4}{2} = 24$.
Общее число пар перпендикулярных ребер в кубе равно сумме пар перпендикулярных пересекающихся и перпендикулярных скрещивающихся ребер:
Всего = 24 (пересекающиеся) + 24 (скрещивающиеся) = 48.
Ответ: 48.

38. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми:

а) $AB_1$ и $BC_1$;

б) $AC$ и $BD_1$;

в) $AB_1$ и $CD_1$.

а) $AB_1$ и $BC_1$
Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую. Прямые $AB_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $BCC_1B_1$ параллельна грани $ADD_1A_1$. Следовательно, диагональ $BC_1$ параллельна диагонали $AD_1$.
Таким образом, искомый угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB_1$ и $AD_1$, то есть углу $\angle B_1AD_1$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1D_1$. Пусть ребро куба равно $a$.
1. Сторона $AB_1$ является диагональю грани-квадрата $ABB_1A_1$. Ее длина равна $AB_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
2. Сторона $AD_1$ является диагональю грани-квадрата $ADD_1A_1$. Ее длина равна $AD_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
3. Сторона $B_1D_1$ является диагональю грани-квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Ее длина равна $B_1D_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Поскольку все стороны треугольника $\triangle AB_1D_1$ равны ($AB_1 = AD_1 = B_1D_1$), он является равносторонним.
Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Значит, $\angle B_1AD_1 = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

б) $AC$ и $BD_1$
Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD_1$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$ (ось $x$), $AD$ (ось $y$) и $AA_1$ (ось $z$). Пусть ребро куба равно $a$.
Определим координаты нужных точек: $A(0, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $D_1(0, a, a)$.
Теперь найдем координаты векторов, лежащих на данных прямых:
$\vec{AC} = \{C_x - A_x, C_y - A_y, C_z - A_z\} = \{a-0, a-0, 0-0\} = \{a, a, 0\}$.
$\vec{BD_1} = \{D_{1x} - B_x, D_{1y} - B_y, D_{1z} - B_z\} = \{0-a, a-0, a-0\} = \{-a, a, a\}$.
Косинус угла $\varphi$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами: $\cos \varphi = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD_1}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD_1}|}$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{AC} \cdot \vec{BD_1} = a \cdot (-a) + a \cdot a + 0 \cdot a = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.
Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $BD_1$ равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

в) $AB_1$ и $CD_1$
Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, осуществим параллельный перенос одной из прямых.
В кубе грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $BAA_1B_1$. Диагональ $CD_1$ грани $CDD_1C_1$ параллельна диагонали $BA_1$ грани $BAA_1B_1$.
Следовательно, угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB_1$ и $BA_1$.
Прямые $AB_1$ и $BA_1$ являются диагоналями квадрата $ABB_1A_1$.
По свойству квадрата, его диагонали взаимно перпендикулярны.
Значит, угол между прямыми $AB_1$ и $BA_1$ равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми:

а) $AA_1$ и $CD_1$;

б) $AA_1$ и $BD_1$;

в) $AC$ и $BE_1$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания правильной шестиугольной призмы, точка $O$, совпадает с началом координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Основание $ABCDEF$ лежит в плоскости $Oxy$. По условию, все ребра призмы равны 1, значит, сторона основания и высота призмы равны 1.

Расположим оси в плоскости основания так, чтобы ось $Oy$ проходила через вершины $A$ и $D$. Так как в правильном шестиугольнике расстояние от центра до вершины равно стороне, то есть 1, мы можем определить координаты всех вершин.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$:

• $A(0, 1, 0)$
• $B(\cos(30^\circ), \sin(30^\circ), 0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
• $C(\cos(-30^\circ), \sin(-30^\circ), 0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$
• $D(0, -1, 0)$
• $E(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$
• $F(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получаются сдвигом соответствующих вершин нижнего основания на 1 вдоль оси $Oz$:

• $A_1(0, 1, 1)$
• $B_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 1)$
• $C_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$
• $D_1(0, -1, 1)$
• $E_1(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$
• $F_1(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 1)$

Угол между скрещивающимися прямыми находится как угол между их направляющими векторами. Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

а) Найдем угол между прямыми $AA_1$ и $CD_1$.Найдем координаты направляющего вектора для прямой $AA_1$:$\vec{u}_{AA_1} = A_1 - A = (0-0, 1-1, 1-0) = (0, 0, 1)$.Найдем координаты направляющего вектора для прямой $CD_1$:$\vec{v}_{CD_1} = D_1 - C = (0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, -1 - (-\frac{1}{2}), 1 - 0) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$.Вычислим скалярное произведение:$\vec{u}_{AA_1} \cdot \vec{v}_{CD_1} = 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 \cdot 1 = 1$.Вычислим длины векторов:$|\vec{u}_{AA_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.$|\vec{v}_{CD_1}| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.Теперь найдем косинус угла:$\cos\theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Следовательно, угол $\theta = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

б) Найдем угол между прямыми $AA_1$ и $BD_1$.Направляющий вектор для прямой $AA_1$ нам уже известен: $\vec{u}_{AA_1} = (0, 0, 1)$.Найдем координаты направляющего вектора для прямой $BD_1$:$\vec{w}_{BD_1} = D_1 - B = (0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, -1 - \frac{1}{2}, 1 - 0) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 1)$.Вычислим скалярное произведение:$\vec{u}_{AA_1} \cdot \vec{w}_{BD_1} = 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0 \cdot (-\frac{3}{2}) + 1 \cdot 1 = 1$.Вычислим длины векторов:$|\vec{u}_{AA_1}| = 1$.$|\vec{w}_{BD_1}| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{12}{4} + 1} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.Теперь найдем косинус угла:$\cos\theta = \frac{|1|}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$.Следовательно, угол $\theta = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

в) Найдем угол между прямыми $AC$ и $BE_1$.Найдем координаты направляющего вектора для прямой $AC$:$\vec{p}_{AC} = C - A = (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, -\frac{1}{2} - 1, 0 - 0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)$.Найдем координаты направляющего вектора для прямой $BE_1$:$\vec{q}_{BE_1} = E_1 - B = (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 1 - 0) = (-\sqrt{3}, -1, 1)$.Вычислим скалярное произведение:$\vec{p}_{AC} \cdot \vec{q}_{BE_1} = (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) + (-\frac{3}{2}) \cdot (-1) + 0 \cdot 1 = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 0 = 0$.Так как скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, а сами векторы не являются нулевыми, то эти векторы ортогональны. Следовательно, прямые $AC$ и $BE_1$ перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.