Номер 39, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми:

а) $AA_1$ и $CD_1$;

б) $AA_1$ и $BD_1$;

в) $AC$ и $BE_1$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания правильной шестиугольной призмы, точка $O$, совпадает с началом координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Основание $ABCDEF$ лежит в плоскости $Oxy$. По условию, все ребра призмы равны 1, значит, сторона основания и высота призмы равны 1.

Расположим оси в плоскости основания так, чтобы ось $Oy$ проходила через вершины $A$ и $D$. Так как в правильном шестиугольнике расстояние от центра до вершины равно стороне, то есть 1, мы можем определить координаты всех вершин.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$:

• $A(0, 1, 0)$
• $B(\cos(30^\circ), \sin(30^\circ), 0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
• $C(\cos(-30^\circ), \sin(-30^\circ), 0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$
• $D(0, -1, 0)$
• $E(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$
• $F(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получаются сдвигом соответствующих вершин нижнего основания на 1 вдоль оси $Oz$:

• $A_1(0, 1, 1)$
• $B_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 1)$
• $C_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$
• $D_1(0, -1, 1)$
• $E_1(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$
• $F_1(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 1)$

Угол между скрещивающимися прямыми находится как угол между их направляющими векторами. Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

а) Найдем угол между прямыми $AA_1$ и $CD_1$.Найдем координаты направляющего вектора для прямой $AA_1$:$\vec{u}_{AA_1} = A_1 - A = (0-0, 1-1, 1-0) = (0, 0, 1)$.Найдем координаты направляющего вектора для прямой $CD_1$:$\vec{v}_{CD_1} = D_1 - C = (0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, -1 - (-\frac{1}{2}), 1 - 0) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$.Вычислим скалярное произведение:$\vec{u}_{AA_1} \cdot \vec{v}_{CD_1} = 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 \cdot 1 = 1$.Вычислим длины векторов:$|\vec{u}_{AA_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.$|\vec{v}_{CD_1}| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.Теперь найдем косинус угла:$\cos\theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Следовательно, угол $\theta = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

б) Найдем угол между прямыми $AA_1$ и $BD_1$.Направляющий вектор для прямой $AA_1$ нам уже известен: $\vec{u}_{AA_1} = (0, 0, 1)$.Найдем координаты направляющего вектора для прямой $BD_1$:$\vec{w}_{BD_1} = D_1 - B = (0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, -1 - \frac{1}{2}, 1 - 0) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 1)$.Вычислим скалярное произведение:$\vec{u}_{AA_1} \cdot \vec{w}_{BD_1} = 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0 \cdot (-\frac{3}{2}) + 1 \cdot 1 = 1$.Вычислим длины векторов:$|\vec{u}_{AA_1}| = 1$.$|\vec{w}_{BD_1}| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{12}{4} + 1} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.Теперь найдем косинус угла:$\cos\theta = \frac{|1|}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$.Следовательно, угол $\theta = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

в) Найдем угол между прямыми $AC$ и $BE_1$.Найдем координаты направляющего вектора для прямой $AC$:$\vec{p}_{AC} = C - A = (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, -\frac{1}{2} - 1, 0 - 0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)$.Найдем координаты направляющего вектора для прямой $BE_1$:$\vec{q}_{BE_1} = E_1 - B = (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 1 - 0) = (-\sqrt{3}, -1, 1)$.Вычислим скалярное произведение:$\vec{p}_{AC} \cdot \vec{q}_{BE_1} = (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) + (-\frac{3}{2}) \cdot (-1) + 0 \cdot 1 = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 0 = 0$.Так как скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, а сами векторы не являются нулевыми, то эти векторы ортогональны. Следовательно, прямые $AC$ и $BE_1$ перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.