Номер 43, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

43. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите расстояние от вершины B до плоскости:

a) $ACC_1$;

б) $CDD_1$;

в) $DEE_1$;

г) $DFF_1$.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основания — правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. По условию, все ребра равны 1, следовательно, сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Все указанные плоскости ($ACC_1$, $CDD_1$, $DEE_1$, $DFF_1$) содержат боковые ребра призмы или прямые, параллельные им. Это означает, что все эти плоскости перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$. Расстояние от вершины B, которая лежит в плоскости основания, до каждой из этих вертикальных плоскостей равно расстоянию от точки B до прямой, по которой соответствующая плоскость пересекает плоскость основания. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояний на плоскости основания $ABCDEF$.

а) $ACC_1$

Плоскость $ACC_1$ пересекает плоскость основания по прямой $AC$. Требуется найти расстояние от точки B до прямой $AC$. Это расстояние равно высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины B. Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB=BC=1$. Угол $\angle ABC$ — это внутренний угол правильного шестиугольника, который равен $120^\circ$.

Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Найдем длину стороны $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.

Следовательно, $AC = \sqrt{3}$.

Искомое расстояние $d_1$ — это высота $h_B$ треугольника $ABC$. Из формулы площади $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_B$ получаем:

$d_1 = h_B = \frac{2S_{ABC}}{AC} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $CDD_1$

Плоскость $CDD_1$ пересекает плоскость основания по прямой $CD$. Требуется найти расстояние от точки B до прямой $CD$. Продлим стороны $AB$ и $DC$ шестиугольника до их пересечения в точке P. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ равны по $120^\circ$. Тогда в треугольнике $PBC$ углы при вершинах B и C будут смежными с углами шестиугольника, то есть $\angle PBC = \angle PCB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Это означает, что треугольник $PBC$ является равносторонним. Так как сторона $BC=1$, то все его стороны равны 1. Расстояние от точки B до прямой $CD$ (которая является частью прямой $PC$) равно высоте треугольника $PBC$, опущенной из вершины B на сторону $PC$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для $a=1$ искомое расстояние $d_2$ равно $\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $DEE_1$

Плоскость $DEE_1$ пересекает плоскость основания по прямой $DE$. Требуется найти расстояние от точки B до прямой $DE$. В правильном шестиугольнике сторона $AB$ параллельна стороне $DE$. Поэтому расстояние от точки B (лежащей на прямой $AB$) до прямой $DE$ равно расстоянию между этими параллельными прямыми. Это расстояние равно удвоенной апофеме правильного шестиугольника (апофема — это перпендикуляр, опущенный из центра на сторону).

Апофема правильного шестиугольника со стороной $a=1$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Искомое расстояние $d_3$ равно $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

г) $DFF_1$

Плоскость $DFF_1$ пересекает плоскость основания по прямой $DF$. Требуется найти расстояние от точки B до прямой $DF$. Рассмотрим треугольник $BDF$, вершины которого являются вершинами шестиугольника. Его стороны $BD$, $DF$ и $FB$ — это малые диагонали правильного шестиугольника (соединяют вершины через одну). Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. При $a=1$ все стороны треугольника $BDF$ равны $\sqrt{3}$. Значит, треугольник $BDF$ является равносторонним.

Искомое расстояние $d_4$ от вершины B до прямой $DF$ является высотой этого равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной $s$ равна $\frac{s\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае сторона $s = \sqrt{3}$, поэтому расстояние $d_4 = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.