Номер 41, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

41. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ все ребра равны 1.

Найдите расстояние от точки B до прямой:

a) $AC_1$;

б) $A_1 C_1$.

а)

Расстояние от точки B до прямой $AC_1$ — это длина высоты $BH$, опущенной из вершины B на сторону $AC_1$ в треугольнике $ABC_1$. Чтобы найти эту высоту, мы можем найти площадь треугольника $ABC_1$ и длину стороны $AC_1$.

Найдем длины сторон треугольника $ABC_1$. По условию, все ребра правильной призмы равны 1.

1. Сторона $AB$ является ребром основания, поэтому $AB = 1$.

2. Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Эта грань — квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$:$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

3. Сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Эта грань также является квадратом со стороной 1. Аналогично:$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $ABC_1$ имеет стороны $1, \sqrt{2}, \sqrt{2}$.Найдем его площадь $S$ по формуле Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$:$p = \frac{AB + AC_1 + BC_1}{2} = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем площадь:$S = \sqrt{p(p-AB)(p-AC_1)(p-BC_1)}$$S = \sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\frac{1+2\sqrt{2}}{2}-1\right) \cdot \left(\frac{1+2\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\right) \cdot \left(\frac{1+2\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\right)}$$S = \sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1+2\sqrt{2}-2}{2} \cdot \frac{1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}}$$S = \sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}-1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{(2\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-1)}{16}} = \sqrt{\frac{(2\sqrt{2})^2 - 1^2}{16}} = \sqrt{\frac{8-1}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через высоту $BH$ и основание $AC_1$:$S = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot BH$.Отсюда выразим искомую высоту $BH$:$BH = \frac{2S}{AC_1} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{4}$

б)

Нам нужно найти расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$.

Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Точка B лежит в плоскости нижнего основания $ABC$. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1$, и его длина равна 1.

Рассмотрим проекцию точки B на плоскость верхнего основания — это точка $B_1$. Расстояние от B до прямой $A_1C_1$ (обозначим его $d$) можно найти с помощью теоремы Пифагора в пространстве.

Пусть $M$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B_1$ на прямую $A_1C_1$ в плоскости $A_1B_1C_1$. Тогда отрезок $B_1M$ — это расстояние от точки $B_1$ до прямой $A_1C_1$.Так как $BB_1$ перпендикулярно всей плоскости $A_1B_1C_1$, то $BB_1$ перпендикулярно и прямой $B_1M$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольник $BB_1M$ является прямоугольным с прямым углом $B_1$.Искомое расстояние $d$ — это гипотенуза $BM$ этого треугольника.$d^2 = BM^2 = BB_1^2 + B_1M^2$.

Найдем длины катетов:1. $BB_1 = 1$ (по условию).2. $B_1M$ — это высота в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ со стороной 1. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.При $a=1$, получаем $B_1M = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим найденные значения в формулу:$d^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

Следовательно, искомое расстояние равно:$d = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$