Номер 36, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

36. Докажите, что у правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны плоскости:

a) $ABB_1$ и $EDD_1$;

б) $ACC_1$ и $FDD_1$.

Для доказательства параллельности двух плоскостей воспользуемся признаком параллельности: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
По условию, призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной. Это означает, что её основаниями являются правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, а все боковые рёбра ($AA_1, BB_1, CC_1$ и т.д.) параллельны друг другу.
Рассмотрим плоскость $ABB_1$. Она определяется двумя пересекающимися в точке B прямыми: $AB$ и $BB_1$.
Рассмотрим плоскость $EDD_1$. Она определяется двумя пересекающимися в точке D прямыми: $ED$ и $DD_1$.
Сравним эти пары прямых:
1. Прямые $AB$ и $ED$ лежат в плоскости основания. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $AB \parallel ED$.
2. Прямые $BB_1$ и $DD_1$ являются боковыми рёбрами призмы. Все боковые рёбра призмы параллельны друг другу. Следовательно, $BB_1 \parallel DD_1$.
Таким образом, две пересекающиеся прямые ($AB$ и $BB_1$) в плоскости $ABB_1$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($ED$ и $DD_1$) в плоскости $EDD_1$. Согласно признаку параллельности плоскостей, плоскость $ABB_1$ параллельна плоскости $EDD_1$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

Будем использовать тот же признак параллельности плоскостей.
Рассмотрим плоскость $ACC_1$. Она определяется двумя пересекающимися в точке C прямыми: $AC$ и $CC_1$.
Рассмотрим плоскость $FDD_1$. Она определяется двумя пересекающимися в точке D прямыми: $FD$ и $DD_1$.
Сравним эти пары прямых:
1. Прямые $AC$ и $FD$ являются диагоналями основания $ABCDEF$. Рассмотрим четырёхугольник $ACDF$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны и равны. Стороны $FA$ и $CD$ являются противолежащими, следовательно, $FA \parallel CD$ и $FA = CD$. Если у четырёхугольника две противолежащие стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом. Значит, $ACDF$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны также параллельны, поэтому $AC \parallel FD$.
2. Прямые $CC_1$ и $DD_1$ являются боковыми рёбрами призмы, поэтому они параллельны: $CC_1 \parallel DD_1$.
Таким образом, две пересекающиеся прямые ($AC$ и $CC_1$) в плоскости $ACC_1$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($FD$ и $DD_1$) в плоскости $FDD_1$. Согласно признаку параллельности плоскостей, плоскость $ACC_1$ параллельна плоскости $FDD_1$.
Ответ: Что и требовалось доказать.