Номер 29, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Как расположены прямые:
а) $AB_1$ и $CD_1$;
б) $AA_1$ и $BD_1$;
в) $AC_1$ и $BF_1$, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$?

Для определения взаимного расположения прямых в пространстве воспользуемся координатно-векторным методом. Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания правильной шестиугольной призмы $ABCDEF$ совпадает с началом координат $O(0,0,0)$, а вершина $A$ лежит на оси $Ox$. Пусть сторона основания равна $a$, а высота призмы равна $h$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A(a, 0, 0)$

$B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D(-a, 0, 0)$

$E(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания получаются добавлением высоты $h$ по оси $z$:

$A_1(a, 0, h)$, $B_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$, $C_1(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$, $D_1(-a, 0, h)$, $E_1(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$, $F_1(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.

а) $AB_1$ и $CD_1$

Найдем направляющие векторы прямых.Направляющий вектор прямой $AB_1$: $\vec{v}_1 = \vec{B_1} - \vec{A} = (\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.Направляющий вектор прямой $CD_1$: $\vec{v}_2 = \vec{D_1} - \vec{C} = (-a - (-\frac{a}{2}), 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.

Сравним координаты векторов, чтобы проверить их на коллинеарность (параллельность прямых). Отношение первых координат: $(-\frac{a}{2}) / (-\frac{a}{2}) = 1$. Отношение вторых координат: $(\frac{a\sqrt{3}}{2}) / (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) = -1$. Так как $1 \neq -1$, векторы не коллинеарны, и прямые не параллельны.

Чтобы проверить, пересекаются ли прямые, нужно выяснить, лежат ли они в одной плоскости. Для этого проверим на компланарность векторы $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и вектор, соединяющий точки на этих прямых, например, $\vec{AC}$.$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.Вычислим смешанное произведение векторов $(\vec{AC}, \vec{v}_1, \vec{v}_2)$:

$(\vec{AC}, \vec{v}_1, \vec{v}_2) = \begin{vmatrix} -3a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \\ -a/2 & a\sqrt{3}/2 & h \\ -a/2 & -a\sqrt{3}/2 & h \end{vmatrix} = -\frac{3a}{2}(\frac{a\sqrt{3}}{2}h - (-\frac{a\sqrt{3}}{2})h) - \frac{a\sqrt{3}}{2}(-\frac{a}{2}h - (-\frac{a}{2})h) = -\frac{3a}{2}(a\sqrt{3}h) - 0 = -\frac{3\sqrt{3}a^2h}{2}$.

Так как смешанное произведение не равно нулю, векторы не компланарны, следовательно, прямые $AB_1$ и $CD_1$ не лежат в одной плоскости. Прямые, которые не параллельны и не пересекаются, называются скрещивающимися.

Ответ: скрещивающиеся.

б) $AA_1$ и $BD_1$

Прямая $AA_1$ является боковым ребром призмы, она перпендикулярна плоскости основания.Прямая $BD_1$ — диагональ призмы.Направляющий вектор прямой $AA_1$: $\vec{u}_1 = \vec{A_1} - \vec{A} = (0, 0, h)$.Направляющий вектор прямой $BD_1$: $\vec{u}_2 = \vec{D_1} - \vec{B} = (-a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (-\frac{3a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.Векторы не коллинеарны, так как у $\vec{u}_1$ первые две компоненты нулевые, а у $\vec{u}_2$ — нет. Значит, прямые не параллельны.

Для проверки на пересечение воспользуемся методом проекций. Спроектируем обе прямые на плоскость нижнего основания $(ABC)$.Проекцией прямой $AA_1$ на эту плоскость является точка $A$.Проекцией прямой $BD_1$ на эту плоскость является отрезок $BD$.В правильном шестиугольнике вершина $A$ не лежит на диагонали $BD$. Таким образом, проекция прямой $AA_1$ не лежит на проекции прямой $BD_1$.Поскольку прямые не пересекаются в проекции, они не могут пересекаться и в пространстве (так как ни одна из них не является перпендикулярной к направлению проекции, чтобы спроецироваться в одну точку с другой).Так как прямые $AA_1$ и $BD_1$ не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

Ответ: скрещивающиеся.

в) $AC_1$ и $BF_1$

Найдем направляющие векторы прямых.Направляющий вектор прямой $AC_1$: $\vec{w}_1 = \vec{C_1} - \vec{A} = (-\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.Направляющий вектор прямой $BF_1$: $\vec{w}_2 = \vec{F_1} - \vec{B} = (\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (0, -a\sqrt{3}, h)$.Векторы не коллинеарны (у $\vec{w}_2$ первая компонента нулевая, у $\vec{w}_1$ — нет), значит, прямые не параллельны.

Проверим, лежат ли прямые в одной плоскости. Для этого вычислим смешанное произведение векторов $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ и вектора $\vec{AB}$, соединяющего точки на этих прямых.$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.Смешанное произведение $(\vec{AB}, \vec{w}_1, \vec{w}_2)$:

$(\vec{AB}, \vec{w}_1, \vec{w}_2) = \begin{vmatrix} -a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \\ -3a/2 & a\sqrt{3}/2 & h \\ 0 & -a\sqrt{3} & h \end{vmatrix} = -\frac{a}{2}(\frac{a\sqrt{3}}{2}h - (-a\sqrt{3})h) - \frac{a\sqrt{3}}{2}(-\frac{3a}{2}h - 0) + 0 = -\frac{a}{2}(\frac{3a\sqrt{3}h}{2}) + \frac{3a^2\sqrt{3}h}{4} = -\frac{3a^2\sqrt{3}h}{4} + \frac{3a^2\sqrt{3}h}{4} = 0$.

Так как смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны. Это означает, что прямые $AC_1$ и $BF_1$ лежат в одной плоскости. Поскольку они не параллельны, они должны пересекаться.

Ответ: пересекающиеся.