Номер 30, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

30. Докажите, что для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямые:

а) $AA_1$ и $BD$;

б) $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются.

а) Для доказательства того, что прямые $AA_1$ и $BD$ скрещиваются, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых. Признак гласит: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
1. Прямая $BD$ является диагональю основания $ABCD$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Следовательно, прямая $BD$ целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$.
2. Прямая $AA_1$ является боковым ребром параллелепипеда. Она пересекает плоскость основания $(ABC)$ в точке $A$. Точка $A_1$ не лежит в плоскости $(ABC)$, поэтому точка $A$ — единственная точка пересечения прямой $AA_1$ с плоскостью $(ABC)$.
3. Точка пересечения $A$ не принадлежит прямой $BD$. В основании параллелепипеда лежит параллелограмм $ABCD$, и вершина $A$ не лежит на диагонали $BD$.
4. Таким образом, прямая $BD$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $AA_1$ пересекает эту плоскость в точке $A$, не принадлежащей прямой $BD$. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые $AA_1$ и $BD$ скрещиваются.

Ответ: Доказано, что прямые $AA_1$ и $BD$ скрещиваются.

б) Для доказательства того, что прямые $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются, также воспользуемся признаком скрещивающихся прямых.
1. Прямая $BB_1$ является боковым ребром параллелепипеда и целиком лежит в плоскости боковой грани $BB_1C_1C$. Обозначим эту плоскость $\pi$.
2. Прямая $AC_1$ является диагональю параллелепипеда. Найдем точку ее пересечения с плоскостью $\pi$. Точка $C_1$ принадлежит как прямой $AC_1$, так и плоскости $\pi$. Точка $A$ не принадлежит плоскости $\pi$ (поскольку в невырожденном параллелепипеде вершина $A$ не лежит в плоскости грани $BB_1C_1C$). Следовательно, прямая $AC_1$ пересекает плоскость $\pi$ в единственной точке — $C_1$.
3. Проверим, принадлежит ли точка пересечения $C_1$ прямой $BB_1$. Прямая $BB_1$ проходит через вершины $B$ и $B_1$. Точки $B, B_1, C_1$ являются вершинами одной грани и не лежат на одной прямой (не коллинеарны). Следовательно, точка $C_1$ не принадлежит прямой $BB_1$ ($C_1 \notin BB_1$).
4. Итак, прямая $BB_1$ лежит в плоскости $\pi$, а прямая $AC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C_1$, которая не лежит на прямой $BB_1$. По признаку скрещивающихся прямых, прямые $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются.

Ответ: Доказано, что прямые $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются.