Номер 27, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Сколько пар скрещивающихся ребер имеет:

а) куб;

б) параллелепипед;

в) треугольная пирамида;

г) шестиугольная пирамида?

Скрещивающимися называются рёбра, которые лежат на скрещивающихся прямых, то есть не пересекаются и не параллельны. Чтобы найти количество пар скрещивающихся рёбер, мы можем из общего числа пар рёбер вычесть число пар рёбер, которые не являются скрещивающимися. Рёбра не являются скрещивающимися, если они:
1. Пересекаются (имеют общую вершину).
2. Параллельны.
3. Лежат в одной плоскости (на одной грани), но не пересекаются и не параллельны. Такие рёбра также не могут быть скрещивающимися, так как скрещивающиеся прямые не могут лежать в одной плоскости.

Общее число пар рёбер в многограннике с $E$ рёбрами вычисляется по формуле числа сочетаний: $C_E^2 = \frac{E(E-1)}{2}$.

а) куб

1. Общее число рёбер. Куб имеет 12 рёбер ($E=12$).
2. Общее число пар рёбер. $C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$ пар.
3. Число пересекающихся пар рёбер. У куба 8 вершин, и в каждой вершине сходятся 3 ребра. Число пар рёбер, пересекающихся в одной вершине, равно $C_3^2 = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$. Всего пересекающихся пар: $8 \text{ вершин} \times 3 \text{ пары} = 24$ пары.
4. Число параллельных пар рёбер. Рёбра куба можно разбить на 3 группы по 4 взаимно параллельных ребра в каждой. В каждой такой группе число пар параллельных рёбер равно $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$. Всего параллельных пар: $3 \text{ группы} \times 6 \text{ пар} = 18$ пар.
5. Число пар копланарных непересекающихся и непараллельных рёбер. Грани куба — квадраты. В квадрате 4 ребра. Число пар рёбер на одной грани $C_4^2 = 6$. Из них 4 пары пересекаются (смежные рёбра) и 2 пары параллельны (противоположные рёбра). Таким образом, на одной грани нет рёбер, которые были бы одновременно копланарны, не пересекались и не были параллельны. Их число равно 0.
6. Число скрещивающихся пар рёбер. Вычитаем из общего числа пар все нескрещивающиеся пары:
$N_{скр} = 66 - 24 (\text{пересек.}) - 18 (\text{парал.}) - 0 = 24$.
Ответ: 24

б) параллелепипед

Параллелепипед имеет ту же комбинаторную структуру, что и куб: 12 рёбер, 8 вершин, 6 граней. Его грани — параллелограммы. Расчеты полностью аналогичны расчетам для куба.
1. Общее число рёбер: $E=12$.
2. Общее число пар рёбер: $C_{12}^2 = 66$ пар.
3. Число пересекающихся пар рёбер: В каждой из 8 вершин сходятся 3 ребра. $8 \times C_3^2 = 8 \times 3 = 24$ пары.
4. Число параллельных пар рёбер: Рёбра также делятся на 3 группы по 4 параллельных ребра. $3 \times C_4^2 = 3 \times 6 = 18$ пар.
5. Число пар копланарных непересекающихся и непараллельных рёбер. Грани — параллелограммы. Как и в квадрате, на одной грани нет пар рёбер, которые не пересекаются и не параллельны. Их число равно 0.
6. Число скрещивающихся пар рёбер:
$N_{скр} = 66 - 24 - 18 - 0 = 24$.
Ответ: 24

в) треугольная пирамида

Треугольная пирамида (тетраэдр) имеет 4 вершины и 6 рёбер.
1. Общее число рёбер: $E=6$.
2. Общее число пар рёбер: $C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ пар.
3. Число пересекающихся пар рёбер: У пирамиды 4 вершины, в каждой сходятся 3 ребра. $4 \times C_3^2 = 4 \times 3 = 12$ пар.
4. Число параллельных пар рёбер: В общем случае в треугольной пирамиде нет параллельных рёбер. Их число равно 0.
5. Число пар копланарных непересекающихся и непараллельных рёбер. Грани — треугольники. В треугольнике любые два ребра имеют общую вершину, то есть пересекаются. Таким образом, на одной грани нет непересекающихся пар рёбер. Их число равно 0.
6. Число скрещивающихся пар рёбер:
$N_{скр} = 15 - 12 - 0 - 0 = 3$.
Эти три пары — это пары противоположных рёбер тетраэдра.
Ответ: 3

г) шестиугольная пирамида

Шестиугольная пирамида имеет 7 вершин (6 в основании и 1 вершина), 12 рёбер (6 в основании и 6 боковых).
1. Общее число рёбер: $E=12$.
2. Общее число пар рёбер: $C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$ пар.
3. Число пересекающихся пар рёбер: - В вершине пирамиды сходятся 6 боковых рёбер. Число пар: $C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$. - В каждой из 6 вершин основания сходятся 3 ребра (два ребра основания и одно боковое). Число пар в одной вершине основания: $C_3^2 = 3$. Всего для вершин основания: $6 \times 3 = 18$. - Общее число пересекающихся пар: $15 + 18 = 33$ пары.
4. Число некопланарных непересекающихся пар (скрещивающихся). Проще посчитать скрещивающиеся пары напрямую по их типам: - Пара (ребро основания, ребро основания): Все рёбра основания лежат в одной плоскости, поэтому никакие два из них не могут быть скрещивающимися. Количество таких пар равно 0. - Пара (боковое ребро, боковое ребро): Все боковые рёбра пересекаются в вершине пирамиды, поэтому никакие два из них не могут быть скрещивающимися. Количество таких пар равно 0. - Пара (ребро основания, боковое ребро): Возьмём одно ребро основания, например, $V_1V_2$. Оно пересекается с двумя боковыми рёбрами: $AV_1$ и $AV_2$. Остальные 4 боковых ребра ($AV_3, AV_4, AV_5, AV_6$) не пересекают ребро $V_1V_2$ и не параллельны ему, а значит, скрещиваются с ним. Так как в основании 6 рёбер, то общее число таких пар равно $6 \text{ рёбер основания} \times 4 \text{ боковых ребра} = 24$ пары.
Суммируя все типы, получаем общее число скрещивающихся пар.$N_{скр} = 0 + 0 + 24 = 24$.
Ответ: 24