Номер 24, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Сколько пар параллельных ребер имеет:

а) куб;

б) параллелепипед;

в) треугольная призма;

г) шестиугольная призма?

а) куб
Куб имеет 12 ребер. Эти ребра можно сгруппировать в три множества, в каждом из которых по 4 взаимно параллельных ребра. Каждое такое множество соответствует одному из трех направлений в пространстве (например, ребра, параллельные длине, ширине и высоте).
Количество пар, которое можно составить из $n$ элементов, вычисляется по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае мы ищем пары, поэтому $k=2$. Для группы из 4-х ребер ($n=4$) количество пар будет:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ пар.
Поскольку у куба три таких множества взаимно параллельных ребер, общее число пар равно:
$3 \times 6 = 18$.
Ответ: 18 пар.

б) параллелепипед
Параллелепипед, как и куб, имеет 12 ребер. По определению, все грани параллелепипеда — это параллелограммы. Его ребра также группируются в три множества по 4 взаимно параллельных ребра в каждом.
Расчет полностью аналогичен расчету для куба.
Количество пар в каждой из трех групп по 4 ребра: $C_4^2 = 6$.
Общее количество пар параллельных ребер:
$3 \times 6 = 18$.
Ответ: 18 пар.

в) треугольная призма
Треугольная призма имеет 9 ребер: 3 боковых ребра и по 3 ребра в каждом из двух треугольных оснований.
Найдем все множества параллельных ребер:
1. Три боковых ребра призмы параллельны друг другу. Они образуют одно множество из 3-х ребер. Количество пар, которое можно из них составить:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ пары.
2. Каждое ребро верхнего основания параллельно одному соответствующему ребру нижнего основания. Так как в основании треугольник, который в общем случае не имеет параллельных сторон, это дает 3 пары параллельных ребер (каждая пара состоит из одного ребра верхнего основания и одного ребра нижнего).
Суммарное количество пар равно сумме пар из всех групп: $3 + 3 = 6$.
Ответ: 6 пар.

г) шестиугольная призма
Так как в условии не указан тип шестиугольника в основании, будем исходить из стандартного случая — призма с правильным шестиугольником в основании. Такая призма имеет 18 ребер: 6 боковых ребер и по 6 ребер в каждом основании.
Множества параллельных ребер:
1. Шесть боковых ребер параллельны друг другу. Они образуют одно множество из 6 ребер. Количество пар в нем:
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ пар.
2. Ребра оснований. В правильном шестиугольнике есть 3 пары параллельных противоположных сторон. Каждая пара параллельных сторон в верхнем основании также параллельна соответствующей паре в нижнем основании. Таким образом, ребра оснований образуют 3 множества по 4 взаимно параллельных ребра в каждом.
Количество пар в одном таком множестве из 4-х ребер: $C_4^2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ пар.
Поскольку таких множеств три, они в сумме дают: $3 \times 6 = 18$ пар.
Общее число пар параллельных ребер для всей призмы равно сумме пар из всех групп:
$15 + 18 = 33$.
Ответ: 33 пары.