Номер 18, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Может ли пирамида иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 вершин?

Пирамида — это многогранник, состоящий из многоугольника в основании и вершины (апекса), не лежащей в плоскости основания. Все вершины основания соединены с апексом. Таким образом, вершины пирамиды — это все вершины многоугольника в основании плюс одна вершина-апекс.

Пусть в основании пирамиды лежит $n$-угольник. У такого многоугольника $n$ вершин. Общее число вершин пирамиды, обозначим его $V$, вычисляется по формуле:

$V = n + 1$

Из этой формулы можно выразить количество вершин в основании $n$ через общее число вершин $V$:

$n = V - 1$

Поскольку основанием пирамиды является многоугольник, число его вершин $n$ должно быть целым числом и не может быть меньше трёх, то есть $n \ge 3$. Это означает, что для существования пирамиды с $V$ вершинами необходимо, чтобы число $n = V - 1$ было целым и не меньшим 3. Проверим это условие для каждого из предложенных случаев.

а) 9;
Если пирамида имеет $V=9$ вершин, то количество вершин в её основании должно быть $n = 9 - 1 = 8$. Поскольку $n=8$ — это целое число и $8 \ge 3$, то в основании пирамиды может лежать восьмиугольник. Следовательно, пирамида с 9 вершинами существует.
Ответ: Да, может.

б) 10;
Если пирамида имеет $V=10$ вершин, то количество вершин в её основании должно быть $n = 10 - 1 = 9$. Поскольку $n=9$ — это целое число и $9 \ge 3$, то в основании пирамиды может лежать девятиугольник. Следовательно, пирамида с 10 вершинами существует.
Ответ: Да, может.

в) 12;
Если пирамида имеет $V=12$ вершин, то количество вершин в её основании должно быть $n = 12 - 1 = 11$. Поскольку $n=11$ — это целое число и $11 \ge 3$, то в основании пирамиды может лежать одиннадцатиугольник. Следовательно, пирамида с 12 вершинами существует.
Ответ: Да, может.

г) 15;
Если пирамида имеет $V=15$ вершин, то количество вершин в её основании должно быть $n = 15 - 1 = 14$. Поскольку $n=14$ — это целое число и $14 \ge 3$, то в основании пирамиды может лежать четырнадцатиугольник. Следовательно, пирамида с 15 вершинами существует.
Ответ: Да, может.