Номер 22, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Может ли пирамида иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 граней?

Чтобы ответить на вопрос, может ли пирамида иметь определенное количество граней, необходимо рассмотреть ее геометрическое строение. Пирамида — это многогранник, состоящий из основания, которое является многоугольником, и боковых граней, которые являются треугольниками с одной общей вершиной.

Количество боковых граней пирамиды всегда равно количеству сторон многоугольника, лежащего в ее основании. Если в основании пирамиды находится $n$-угольник (многоугольник с $n$ сторонами), то у пирамиды будет $n$ боковых граней. Общее число граней (обозначим его Г) равно сумме одной грани-основания и $n$ боковых граней.

Таким образом, для любой пирамиды справедлива формула, связывающая число граней Г с числом сторон основания $n$:$ \text{Г} = 1 + n $

По определению, любой многоугольник должен иметь как минимум три стороны, следовательно, $n \ge 3$. Это означает, что наименьшее возможное число граней у пирамиды равно $1 + 3 = 4$ (такая пирамида называется тетраэдром).

Из формулы $ \text{Г} = 1 + n $ мы можем выразить число сторон основания: $n = \text{Г} - 1$. Для того чтобы пирамида с заданным числом граней Г могла существовать, необходимо и достаточно, чтобы вычисленное значение $n$ было целым числом и удовлетворяло условию $n \ge 3$.

Проверим это условие для каждого из предложенных в задаче вариантов.

а) 9
Пусть пирамида имеет 9 граней, то есть $\text{Г} = 9$. Найдем соответствующее число сторон основания $n$:$n = \text{Г} - 1 = 9 - 1 = 8$.Поскольку $n=8$ является целым числом и удовлетворяет условию $8 \ge 3$, то пирамида с 9 гранями существовать может. В ее основании будет лежать восьмиугольник. Такая пирамида будет иметь 1 грань-основание и 8 боковых граней, что в сумме дает 9 граней.
Ответ: Да, может.

б) 10
Пусть пирамида имеет 10 граней, то есть $\text{Г} = 10$. Найдем число сторон основания $n$:$n = \text{Г} - 1 = 10 - 1 = 9$.Поскольку $n=9$ — это целое число и $9 \ge 3$, то пирамида с 10 гранями может существовать. В ее основании будет лежать девятиугольник.
Ответ: Да, может.

в) 12
Пусть пирамида имеет 12 граней, то есть $\text{Г} = 12$. Найдем число сторон основания $n$:$n = \text{Г} - 1 = 12 - 1 = 11$.Поскольку $n=11$ — это целое число и $11 \ge 3$, то пирамида с 12 гранями может существовать. В ее основании будет лежать одиннадцатиугольник.
Ответ: Да, может.

г) 15
Пусть пирамида имеет 15 граней, то есть $\text{Г} = 15$. Найдем число сторон основания $n$:$n = \text{Г} - 1 = 15 - 1 = 14$.Поскольку $n=14$ — это целое число и $14 \ge 3$, то пирамида с 15 гранями может существовать. В ее основании будет лежать четырнадцатиугольник.
Ответ: Да, может.