Номер 25, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Докажите, что для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны прямые:
а) $AB$ и $D_1C_1$;
б) $AD_1$ и $BC_1$.

а) По определению параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, все его грани являются параллелограммами.
Рассмотрим грань (основание) $ABCD$. Так как это параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$.
Рассмотрим боковую грань $CDD_1C_1$. Так как это также параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: $DC \parallel D_1C_1$.
Таким образом, мы имеем, что прямая $AB$ параллельна прямой $DC$, а прямая $DC$ в свою очередь параллельна прямой $D_1C_1$. По свойству транзитивности параллельности прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), заключаем, что $AB \parallel D_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AB$ и $D_1C_1$ параллельны.

б) Для доказательства параллельности прямых $AD_1$ и $BC_1$, рассмотрим четырехугольник $AD_1C_1B$. Если мы докажем, что этот четырехугольник является параллелограммом, то из этого будет следовать параллельность его противоположных сторон $AD_1$ и $BC_1$.
Воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Рассмотрим противоположные стороны $AD$ и $B_1C_1$ в этом четырехугольнике... Нет, рассмотрим стороны $AB$ и $D_1C_1$.
Ой, извините, рассмотрим четырехугольник $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$.
Рассмотрим четырехугольник $AD_1C_1B$.
1. Докажем, что стороны $AD$ и $B_1C_1$ равны и параллельны. Нет, это неверно.
Давайте докажем, что стороны $AD_1$ и $BC_1$ являются противоположными сторонами в некотором параллелограмме.
Рассмотрим боковые грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. По свойству параллелепипеда, эти грани являются равными параллелограммами и лежат в параллельных плоскостях.
В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны ($AD \parallel BC$, $AD = BC$).
В параллелограмме $CDD_1C_1$ стороны $DD_1$ и $CC_1$ параллельны и равны ($DD_1 \parallel CC_1$, $DD_1 = CC_1$).
Рассмотрим четырехугольник $ADC_1B_1$. Нет, это не он.
Рассмотрим четырехугольник $AD_1C_1B$.
1. Докажем, что стороны $AB$ и $D_1C_1$ параллельны и равны. Как было показано в пункте а), $AB \parallel D_1C_1$. Также из свойств параллелограммов $ABCD$ и $CDD_1C_1$ следует, что $AB = DC$ и $DC = D_1C_1$, откуда $AB = D_1C_1$.
2. Поскольку в четырехугольнике $AD_1C_1B$ две противоположные стороны ($AB$ и $D_1C_1$) равны и параллельны, то $AD_1C_1B$ является параллелограммом.
3. В параллелограмме $AD_1C_1B$ противоположные стороны $AD_1$ и $BC_1$ также параллельны. То есть, $AD_1 \parallel BC_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AD_1$ и $BC_1$ параллельны.