Номер 26, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны прямые:

а) $AB$ и $E_1D_1$;

б) $AA_1$ и $DD_1$;

в) $AC_1$ и $FD_1$.

а)Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основаниями служат правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ противолежащие стороны параллельны. В частности, сторона $AB$ параллельна стороне $ED$, то есть $AB \parallel ED$.Четырехугольник $EDD_1E_1$ является боковой гранью призмы. Так как призма правильная, она является прямой, и ее боковые грани — прямоугольники. Следовательно, ребро $ED$ параллельно ребру $E_1D_1$, то есть $ED \parallel E_1D_1$.Таким образом, мы имеем два факта: $AB \parallel ED$ и $ED \parallel E_1D_1$. По свойству транзитивности параллельности прямых (если две различные прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), заключаем, что $AB \parallel E_1D_1$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б)По определению призмы, все ее боковые ребра параллельны друг другу. Прямые $AA_1$ и $DD_1$ являются боковыми ребрами данной шестиугольной призмы. Следовательно, они параллельны: $AA_1 \parallel DD_1$.Альтернативно, можно рассмотреть четырехугольник $ADD_1A_1$. Так как основания призмы параллельны и равны, то их соответствующие диагонали $AD$ и $A_1D_1$ также параллельны и равны. Боковые ребра $AA_1$ и $DD_1$ параллельны и равны по определению призмы. Четырехугольник $ADD_1A_1$, у которого две противолежащие стороны ($AA_1$ и $DD_1$) параллельны и равны, является параллелограммом. Отсюда следует, что его стороны $AA_1$ и $DD_1$ параллельны. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

в)Для доказательства параллельности прямых $AC_1$ и $FD_1$ воспользуемся векторным методом. Докажем, что векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{FD_1}$ равны.Выразим эти векторы через рёбра призмы, используя правило сложения векторов (правило треугольника).Для вектора $\vec{AC_1}$ имеем: $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$.Для вектора $\vec{FD_1}$ имеем: $\vec{FD_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1}$.Так как призма является правильной, все её боковые рёбра параллельны и равны по длине. Следовательно, векторы, соответствующие этим рёбрам, равны: $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.Теперь сравним векторы $\vec{AC}$ и $\vec{FD}$, которые лежат в плоскости основания $ABCDEF$. Пусть $O$ — центр этого правильного шестиугольника.Вектор $\vec{AC}$ можно представить как разность векторов, проведенных из центра: $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$.Аналогично для вектора $\vec{FD}$: $\vec{FD} = \vec{OD} - \vec{OF}$.В правильном шестиугольнике векторы, проведенные из центра к противолежащим вершинам, противоположны. То есть, $\vec{OD} = -\vec{OA}$ и $\vec{OF} = -\vec{OC}$.Подставим эти соотношения в выражение для вектора $\vec{FD}$:$\vec{FD} = (-\vec{OA}) - (-\vec{OC}) = \vec{OC} - \vec{OA}$.Таким образом, мы показали, что $\vec{FD} = \vec{AC}$.Теперь вернемся к исходным векторам $\vec{AC_1}$ и $\vec{FD_1}$:$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$$\vec{FD_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1}$Поскольку мы доказали, что $\vec{AC} = \vec{FD}$ и $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$, то из этого следует, что $\vec{AC_1} = \vec{FD_1}$.Равенство векторов означает, что они сонаправлены и их длины равны. Это, в свою очередь, означает, что прямые $AC_1$ и $FD_1$, на которых лежат эти векторы, параллельны. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.